[Linear Algebra] Quadratic Forms

Qudratic form

example 1

example 2

Change of variable in a quadratic form

visualizing

Theorem. The Principal Axes Theorem

A는 n x n symmetric matrix이다.
xTAx 형태를 cross-product term이 없는 yTDy 형태로 변형하는 x=Py, orthogonal change of variable가 있다.
→ P의 columns은 princioal axes이며, Rn의 orthonormal basis이다.

principal axes의 기하학 관점 (no cross-product)

principal axes의 기하학 관점 (with change of variable)

Quadratic forms & Eigenvalues