[CGs] Projections

• Projection(투영) : N차원에서 N보다 더 적은 차원으로 좌표계를 변환하는 것
• 컴퓨터 그래픽스의 투영은 3차원에서 2차원으로 변환하는 것이다.
• Perspective Projections(원근 투영)이든 Parallel Projections(평행 투영)이든 투영에 대한 3가지 요소가 존재한다.
  - COP(투영 중심점), Projector(투영선), Projection plane(투영면)

• 투영 중심을 어떻게 정의하냐에 따라 원근 투영, 팽행 투영이 만들어진다.

• 3D Object의 투영은 COP(투영중심점)에서 뿜어져 나오는 Projector(투영선)에 의해 정의된다.

• Projector(투영선)는 물체의 모든 픽셀들에 투영선이 있어야 한다.

  • 그림상에는 2개지만 모든 픽셀들이 투영선으로 투영중심과 연결되어 있음

• 투영중심에서 투영선이 투영면과 교차하는 지점을 모두 다 이으면 $A^{'}$$B^{'}$인 투영상이 나온다.

• Perspective projection(원근 투영)은 유한한 거리에 COP(투영중심) 하나 존재

• Parallel Projections(평행 투영)은 COP(투영중심)이 무한히 먼 거리에 존재하여 Projector(투영선)가 서로 평행하다.

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Class of Projections

• Planar Geometric Projection : 평면 기하 투영

  • 투영면이 평면

  • 투영선이 직선

  • perspective & parallel

• Nonplanar Geometric Projection : 비평면 기하 투영

  • 투영면이 곡면

  • 투영선이 곡선

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💻 Perspective Projections

• 몇개의 점을 사용하여 원근감을 표현할 것인지에 따라 달라진다.

• 현실적인 뷰를 제공한다

  • 입체감을 얻을 수 있다.

• 상대적인 비율은 보장하지 못한다

  • 물체의 실제 크기나 측정값은 얻을 수 없다

  • 길이도 얻을 수 없다

  • 각도도 보존할 수 없지만 물체의 면이 투영되는 투영면과 평행일 경우에만 각도가 유지된다.

  • 물체의 평행선은 투영됐을 때 반드시 평행하게 나타나진 않는다. (즉, 투영상에서 평행선으로 나타나지 않을 수 있다.)

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• 같은 크기의 물체지만 가까이 있는 물체는 크게, 멀리 있는 물체는 작게 투영상이 생긴다.

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• 투영되는 평행선이 하나의 점으로 수렴하는 점을 소실점(vanishing point)이라 한다

  • 실제 물체에선 평행하나 원근투영으로 나타나면 평행하지 않다

• 물체 내 투영면에선 투영면과 평행하지 않은 평행선 쌍은 모여드는 선으로 투영된다

  • 반면, 투영면과 평행한 평행선(빨간선)은 평행선으로 각도가 유지된 채 투영될 것이다.

• 각각의 투영된 평행선은 각각 분리된 소실점을 가진다.

• principal vanishing point(주축 소실점)

  • 물체의 주축($x,y,z$)과 평행한 어떠한 선의 쌍에 대한 소실점

  • 소실점이 주축에 존재

  • 주축이 3개이므로 소실점도 최대 3개

• 소실점의 개수 : 투영 면에서 평행하지 않는 물체의 평행선 쌍의 개수

  • $(a)$그림의 경우 소실점이 $x,y,z$에 각각 1개씩 총 3개

• 주축 소실점에 따라 원근 투영(일반적으로 소실점의 위치는 주축상에 존재)

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• Multiple COP(Center of Projections)

  • 투영중심도 여러개로 설정 가능

  • 파노라마 사진 찍는것과 똑같은 원리

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💻 Parallel Projections

• Parallel Projections(평행 투영)은 물체의 상대적인 비율을 보장한다.

  • 설계도 작성할 때 많이 사용

• 사실감, 입체감이 없다.

• 물체의 다양한 면의 정확한 View를 가진다

  • 축척에 의해 정확히 실제 물체의 크기 계산 가능

Orthographic Projection(직각 투영)

• $V_{p}$ = Projection vector : 투영 방향

• 투영면과 주축(x,y,z)은 직각을 이룬다.

• 투영면과 투영 방향은 직각을 이룬다.

• 물체의 오직 한 면씩 얻어진 것(단면도)이므로 원래 3D물체를 추측하기 어렵다.

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Axonometric Orthographic Projection(부등각 투영)

• 투영 방향과 투영면은 직각

• 투영면과 주축은 직각이 아니다.

• Axonometric View는 직각이지 않은 주축의 개수에 따라 나뉜다

  • 물체의 2면 이상을 동시에 나타낼 수 있다.

• Dimetric : 투영면이 2개의 주축 사이에 위치. (2개의 주축과 이루는 각도가 비스듬함)

• Trimetric : 투영면이 3개의 주축 사이에 위치. (3개의 주축과 이루는 각도가 비스듬함)

• Isometric : 투영면이 3개의 주축 사이에 동일한 각도로 위치.

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Isometric projection

• 투영면과 주축과의 각도가 동일하다

  • 각도가 동일하다는 것은 물체의 면이 똑같은 비율로 투영된다는 것

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Oblique Projection

• 투영면과 주축(x,y,z)은 직각을 이룬다.

• 투영면과 투영 방향은 직각을 이루지 않는다. (경사짐)

• 투영 방향이 경사지게되어 두 면 이상이 보이게 된다.

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💻 Logical Relationships of Projections