4-4. Bayesian Network

본 글은 K-MOOC의 인공지능 수학 고급(Advanced Mathematics for AI) 강의를 듣고 요약한 글입니다.

Bayesian Network

Bayesian Network는 DAG(유향 비순환 그래프)로서, 각각의 노드가 그 부모에 대한 조건부 확률을 갖는다는 특징이 있다.

그리고 각 노드들의 Joint Probability는 다음과 같이 조건부확률의 곱으로 나다난다.

Example

• 샐리의 집에 침입 알람(A)이 울렸다.
• 그녀의 집에 도둑(B)이 든 것일까 아니면 지진(E)이 난 것일까?
• 그녀는 차 라디오(R)를 틀어 지진뉴스가 있는지 확인했다.

이때 각 확률들의 Joint Probability를 다음과 같이 구할 수 있다.

자 여기에서 다음과 같은 가정을 추가해보자.

• 알람은 라디오에서 지진 뉴스가 있다고 해서 울리지는 않는다.
• 라디오 방송은 도둑이 든 것과 직접적인 관련은 없다.
• 또한 도둑과 지진은 직접적인 관련이 없다.

이때, 위 조건들은 독립성을 나타내므로 다음과 같이 Joint Probability를 나타낼 수 있다.

그리고, 이를 베이지안 네트워크로 나타내면 다음 그림과 같다.

그리고 각 확률을 다음의 테이블로 나타내면 다음과 같다.

• $p(A|B,E)$

  Alarm=1	Burglar	Earthquake
  0.9999	1	1
  0.99	1	0
  0.99	0	1
  0.0001	0	0

• $p(R|E)$

  Radio=1	Earthquake
  1	1
  0	0

자 이제 처음으로 돌아가자.

• Initial evidence: 침입 알람이 울렸다.

  이때 도둑이 들었을 조건부 확률은 다음과 같다.

  $p(B=1|A=1) = \frac {\sum_{E,R}p(B=1,E,A=1,R)} {\sum_{B,E,R}p(B,E,A=1,R)} \\\,\\ = \frac {\sum_{E,R}p(A=1|R=1,E)p(B=1)p(E)p(R|E)} {\sum_{B,E,R}p(A=1|B,E)p(B)p(E)p(R|E)} \approx 0.99$

• Additional Evidence: 하지만 지진이 났다는 뉴스가 라디오 방송으로 나왔다면

  $p(B=1|A=1, R=1) \approx 0.01$

  로 도둑이 들었을 확률이 급격히 낮아진다.