챕터3. BASICS OF INTEREST RATE RISK MANAGEMENT

이 장에서는 고정 수입 자산에 대한 위험을 측정하는 방법을 배운다
이를 위하여 듀레이션, VaR, expected shortfall에 대한 개념을 알아보고
면역 전략과 자산부채전략관리를 이용하여 위험을 완화시키는 방법을 배운다

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✏️The Variation In Interest Rates

금리는 지속적으로 변화되어 왔으며 1월물부터 10년물까지 금리는 매우 가까우며
up and down을 반복하여 왔다 특히 1970년대에 상대적으로고점을 찍었으며 1980년대 이후부터
하락세를 보여 1990년대 후반 저점을 형성하였다

여기서 level of interest rates라는 개념이 나오는데
이는 만기에 따른 금리의 평균을 의미한다

이러한 금리 수준이 변화함에 따라 시장참여자들은
금리 변동이 자산 부채 가치에 미치는 영향력을 우려하였다.

저축 대부 조합의 실패

이는 금리가 변동하였을 때 무엇이 잘못될 수 있는지를 보여주는 예이다
저축 대부 조합은 담보대출자들에게 장기 이자를 받고 저축자들에게 단기 이자를 제공하며
그 차액으로 돈을 버는 구조이다

1970년대 말 금리가 상승하였을 때 금리 상승 전 계약에 따라 낮은 고정 이자를 받고 있었다
하지만, 저축자는 어디에 돈을 저축할지 선택할 수 있었기에 은행은 높은 금리에 대한 압박을 받아 갑작스러운 금리 상승에 조합은 높은 이자율을 저축자들에게 제공하여야 했다
그렇지 않으면 저축자들은 돈을 인출하여 다른 곳에 투자할 수 있었고
이러한 인출은 은행 입장에서 잔고가 남지 않는 현상으로 이어질 수 있었다

Orange County의 파산

예기치 못한 금리 상승으로 인하여 캘리포니아의 Orange County는 16억 달러의 손해를 보았다
구조화 채권과 레버리지로 인하여 이자율에 더 민감하게 반응하여 부수적인 손해로 이어졌고
총 75억 달러의 자산 가치 손해로 이어져 파산에 이르게 하였다

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이 책에서는 맥컬리 듀레이션을 거의 사용하지 않아 수정 듀레이션을 듀레이션으로 사용한다

✏️Duration

위의 예시는 금리 변화에 따른 채권 포트폴리오의 위험을 측정하는 도구와
이러한 위험을 효율적으로 관리하기 위한 도구의 필요성을 시사하였다
듀레이션은 이러한 도구 중 하나이다

듀레이션: 금리 수준 변화에 따른 가격의 민감도

$(수정)Duration$ $=$ $D_p$ = $-$ $1\over p$ $dP \over dr$
금리가 $dr$만큼 변하였을 때 채권 가격 $P$에 얼만큼 영향을 미치는지

$Change\; in\; portfolio\; value$ $=$ $dP$ $=$ $-D_p \times P \times dr$
듀레이션 $D_p$가 주어졌을 때 금리수준 변화가 가져오는 포트폴리오 가치의 변화

💭그렇다면 채권의 듀레이션을 어떻게 계산할까?

$-$ $1\over P$는 정해져 있으니 $dP\over dr$에 대하여 알아보자

$d\,P_z \over d\,r$ $=$ $100 \times d\,(e^r(T-t)) \over dr$
$\;\;\;\;\;\;\, = 100\times (-(T-t)\times e^r(T-t)$
$\;\;\;\;\;\;\, = -(T-t)\times P_z(r,t,T)$

무이표채의 가격은 현재의 금리 $r$에 영향을 받는다
위의 식은 t시점에 만기가 T인 무이표채의 가격에 대한 기울기를 나타낸다

이제 본격적으로 듀레이션을 구하는 방법에 대하여 알아보자

• 무이표채

  무이표채의 듀레이션

  $D_z,T = -$ $1\over P_z (r,t,T)$ $(dP_z (r,t,T)\over dr)$
  $\quad \quad \;\;\, = -$ $1\over P_z (r,t,T)$ $\times (-(T-t)\times P_z (r,t,T))$
  $\quad \quad \;\;\, = T-t$

  포트폴리오의 듀레이션

  포트폴리오 $W = N_1 \times P_1 + N_2 \times P_2$

  $Duration of portfolio = D_W =$ $-$ $1\over W$ $dW \over dr$
  $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; = w_1 D_1 + w_2 D_2$

  where $W_1 =$ $N_1\times P_1\over W$ and $W_2 =$ $N_2\times P_2\over W$

• 이표채

  이표채의 듀레이션

  이표채의 가격은 1기 부터 n-1기의 이표와 n기의 원금+이표의 현가
  따라서 1~n-1기 까지 $w_i$는 이표채의 가격 중 이표의 가격 비율 $w_n$는 나머지라 할 때
  $D_c = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{w_i D_{z,T_i}}$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{w_i T_i}$

  이표채의 듀레이션은 $T_i$의 이표 payment의 가중평균과 같다

듀레이션과 지급 현금 흐름의 평균 기간

듀레이션은 산술적으로 채권의 실질적 만기, 채권의 평균적인 원금 회수 기간을 의미하기도 한다
이는 이표채의 듀레이션 공식을 통해서 확인할 수 있다
예를 들어 무이표채의 경우 원금을 실질적으로 회수하기 위해서는 만기인 T만큼 걸리며
듀레이션은 이와 같은 T가 나온다

즉, 듀레이션은 지급의 평균적인 기간이며 동시에 이자율이 증가하였을 때 가치 손실 비율이다

하지만, 많은 상품들이 고정된 payment를 지급하지 않기에 이 등식이 성립하지 않을 수 있다
한 번 변동금리채권에 대하여 살펴보자

변동 금리 채권의 듀레이션

FRN의 가격은 $P_FR (t,T) = Z(t,T_i+1)\times 100 \times (1+{r_2 (T_i)\over2})$ 이므로
듀레이션 $D_FR$은 $T_i - t$와 같다

즉, 변동금리 채권의 듀레이션은 다음 이표 지급까지 남은 기한과 같으며
만약 오늘이 지급일이며 아직 이표를 지급하지 않았을 경우 듀레이션은 0이다

이러한 예시는 미래 현금 흐름의 평균적인 기간이 비교적 길더라도 듀레이션이 짧을 수 있다는 것을 보여준다
심지어 듀레이션이 만기보다 길어 negative한 경우도 존재

따라서 현대의 듀레이션 개념은 위험 관리 목적, 기간 구조에 대한 민감성을 계산하는 목적으로 쓰인다

듀레이션의 속성

표시 이자율이 상승할 경우 듀레이션은 낮아진다

💭 위의 속성을 가지는 이유는?

1. 현금 흐름 지급의 평균 기간이 낮아진다: 표시 이자율이 상승할 경우 중간에 받는 이자 금액이 많아져 평균 기간이 현재와 근접한다
2. 금리에 대한 민감도가 낮아진다: 표시 이자율이 올라갈 수록 모든 시점에서 지급되는
   이자가 늘어나지만, 먼 미래보다는 가까운 미래에서 발생하는 이자의 현재가치가 더 크다

이와 같은 이유로 금리 수준이 오를수록 듀레이션은 낮아진다

금리 수준이 오를 경우 모든 시점에서 발생하는 현금흐름의 현재가치가 감소하지만,
먼 미래 현금 흐름의 현재가치가 크게 감소하여 가까운 미래의 현재가치 비율이 커지기 때문

듀레이션의 전통적인 정의

연속 복리 가정 하의 듀레이션은 단순하며 고정 금리 채권의 평균 지불 기한과 같다
하지만 전통적으로 듀레이션은 semi-annal을 가정한다
이 경우 이자율 변화에 따른 상대적인 가격 민감성을 나타내는 수정 듀레이션의 조정이 필요하다

$MD = -{1\over P}{dP \over dy} = {1\over (1+{y\over 2})} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{w_j \times T_j}$

수정 듀레이션은 만기 현금 흐름에 대하여 $({1/ (1+{y\over2})})$을 조정하여 가중 평균한 것

이때 조정하지 않은 상태로 만기 현금 흐름을 가중 평균한 것을 맥컬리 듀레이션으로 부른다

$D^{Mc} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{w_j \times T_j}$

전통적인 정의의 듀레이션은 위험 관리 목적으로 사용하기 보다는 수익률 곡선의 변화를 볼 때 사용된다

금액 듀레이션

위의 모든 개념은 nonzero에 대한 상품 혹은 포트폴리오의 듀레이션에 대하여 기술하였다
no-arbitrage전략을 포함한 다양한 케이스에서 상품 혹은 포트폴리오의 가치가 정확히 0인 경우가 있다

위와 같은 경우 금액 듀레이션에 의존한다
$Dollar duration = D^{\$}_p = -{dP\over dr}$

이는 이자율과 채권가격의 절대적 변화 관계를 나타낸다

$D^{\$}_p = P\times D_p$

채권시장에서 이자율의 최소변동폭은 0.01%p로 이를 BP로 부르며 이에 따른 가격 변화는 다음과 같다

$Price\; value\; of\; a\; basis\; point = PV01(orPVBP) = -D^{\$}_p \times dr$

듀레이션 총 정리

맥컬레이 듀레이션: 지급 현금 흐름의 평균 기간, 채권의 실질적 만기, 트레이딩의 영역

수정 듀레이션: 이자율 변화에 대한 상대적 민감도

금액 듀레이션: 이자율 변화에 대한 절대적 민감도, 위험 관리 측면에서 사용
$\qquad\qquad\quad$ 금리가 1% 변할 때 10억을 잃을 수 있어요

듀레이션과 VaR

VaR은 포트폴리오에 존재하는 위험의 양을 정량화하기 위한 위험 척도이다
간단하게 95%확률하에 포트폴리오에서 예상되는 최대 손실이다
VaR을 계산하는 도구는 다양하지만 역사적 분포 접근법과 정규 분포 접근법을 이용하여 보겠다

$L_T = -(P_T - P_0)$ 일때
$Prob(L_T > VaR) = \alpha\%$

예를 들어 1억 달러 채권 포트폴리오가 95%, 한달 VaR이 3백만 달러라면
다음달 손실이 3백만 달러를 넘을 확률이 고작 5%라는 것을 의미한다

포트폴리오의 잠재적 손실을 게산하는 과정

$\mu_p = -D_p\times P\times \mu\quad and\quad \sigma_p = D_p\times P\times \sigma$

$dr \sim N(\mu,\sigma^2) \Rightarrow dP \sim N(\mu_P,\sigma^2_P)$

The 95% VaR is then given by

$95\%\; VaR = -(\mu_p -1.645\times \sigma_P)$

99% 신뢰도의 경우 1.645대신 2.326을 사용한다

• Historical Distribution: 과거의 금리 수준 변화 dr을 포트폴리오의 잠재적 변화를 평가하는 지표로 이용
• Normal Distribution: dr이 정규분포를 따른다고 가정하여 dP에 적용

VaR에는 몇가지 문제점이 존재한다

VaR은 통계적 측정치이며 분포 가정에 따라 추정치가 달라진다(historical vs. normal)

듀레이션 계산은 적은 금리 수준 변화에서 저절하였지만 VaR은 큰 변화를 고려한다

손실에 대한 최대치를 계산해 줄 뿐 얼마만큼의 손실을 입을지 가르쳐 주지는 않는다

VaR을 구하기 위하여 금리의 에상 변화를 구해야 하는데 이는 매우 부정확하다

Duration and Expected Shortfall

VaR의 몇몇 문제점은 expected shorfall이라 불리는 리스크 측정치를 사용함으로써 해결할 수 있다

Expected Shortfall: VaR이상의 손실에 대한 기대값

$Expected\; shortfall = E[ L_T|L_T > VaR]$

$95\%\; Expected\; shortfall = -(\mu_P - \sigma_P\times 2.0628)$

99% 신뢰도의 경우 2.0628 대신 2.6649를 사용한다

normal distribution과 historical distribution을 사용했을 때 결과값의 차이가 발생한다
다양한 금리 변화 시나리오로부터 최악과 최선을 뽑아낸후 순위를 매겨 최악의 5%를 뽑는 식으로 VaR을 조정한다

한편, historical distribution을 사용할 경우 99% ES는 정규분포의 경우보다 크다
이는 극한상황에서 확률이 더 높은 fat-tail 분포의 성격을 가지고 있기 때문이다

✏️Interest Rate Risk Management

금리 위험 관리는 기관이나 개인의 목표에 따라 관리 방법에 대한 유형이 달라진다

현금흐름 매칭과 면역 전략

백만달러 예금에 대하여 30년 동안 6개월 마다 28,767달러를 지급하기로 한다
28,767은 어떻게 계산되었을까?

semi-annually 금리가 4%라 할 때 28,767현가의 합이 백만 달러이다

• 현금흐름 매칭
  금융기관은 6개월마다 정확히 28,767달러를 지급하는 증권 세트를 구매할 수 있다
  이 방식으로 자신이 주어야 할 이자를 더 싸게 가져와 spread 이익을 보는 것이다

  그러나 이 전략의 한 가지 단점은 금융 기관이 6개월 간격으로 현금 흐름 매칭에 필요한 증권의 정확한 유형을 찾아야 한다는 것이다. 이러한 노력은 많은 증권이 비 유동적이기 때문에 문제가 있고 비용이 많이 들 수 있다.

• 면역전략
  만기 기간과 듀레이션이 일치하는 포트폴리오를 고르는 전략
  이는 기관이 유동성과 거래비용 측면에서 선호하는 채권을 선택하여 포트폴리오를 구성할 수 있다는 점에서 앞의 전략보다 선호된다

  결론적으로 이자율이 변하여도 자산의 가치가 부채의 가치를 따라가게 될 것이다

면역전략 vs. 단순 투자 전략

면역전략과 다른 정적 투자 전략을 비교할 경우 면역 전략이 더 잘 맞는다는 것을 알 수 있다

장기채에 100% 투자하게 된다면 금리가 상승할 경우 채권 가격이 하락하여 손해를 본다
비슷하게 현금에 100% 투자한다면 금리가 하락할 경우 손해를 본다
따라서 안전한 전략은 이 중간에 존재한다

면역전략은 이자율 하락 시 현금에서 발생한 손해를 장기채의 이득으로 보상하며
이를 정확히 보상하기 위하여 듀레이션 개념이 들어간다

✏️Asset-Liablilty Management

ALM은 금리 위험 관리에 대한 가장 보편적인 예시이다
금융기관이 자산과 부채의 듀레이션을 맞추지 않았을 경우 금리가 상승하게 된다면 어떠할까?
부채의 가치는 변화없다고 하면 자산의 가치는 급격히 하락할 것이다

ALM은 금리 수준 변화가 자산과 부채의 차이인 자본에 미치는 영향을 최소화 하는데 목표를 둔다

mismatch는 자본의 듀레이션이 0이 아닐 대 발생한다