Linear Independence

STATS·2023년 7월 22일
선형대수학

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선형독립, 선형종속

공집합이 아닌 벡터 집합 S={v1,v2,...,vr}S = \{v_1, v_2, ..., v_r\}이 있을 때, SS의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 없다면 SS를 선형 독립이라고 한다.

반면 SS 중 하나 이상의 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있을 때, SS를 선형 종속이라고 한다.

만약 vi∈Sv_i \in S가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능하면, viv_i가 없을 때 SS의 선형결합으로 나타낼 수 있는 정보량과 viv_i가 존재할 때 나타낼 수 있는 정보량은 동일하다. viv_i는 정보량을 늘리는 데 기여하지 못하는 중복 벡터가 될 뿐이다.

선형독립의 판단

Nonempty set S={v1,v2,...,vn} in Vector space V is linearly independent if and only ifk1v1+k2v2+...+knvn=0 for only (k1,k2,...,kn)=(0,0,...,0)Proof) (⇒)Suppose S is Linearly independent set and ∃(k1,k2,...,kn)∈Rn≠0⃗ s.t k1v1,+...+knvn=0.⇒∃vi∈S s.t k1v1+...+ki−1vi−1+ki+1vi+1+...+knvn=−kivi, ki≠0.⇒vi=k1−kiv1+...+ki−1−kivi−1+ki+1−ki+...+kn−kivn,This leads to a contradiction.∴S is Linearly independent set ⇒k1v1+k2v2+...+knvn=0 for only (k1,k2,...,kn)=(0,0,...,0)(⇐)Suppose k1v1+k2v2+...+knvn=0 for only (k1,k2,...,kn)=(0,0,...,0)and S is Linearly dependent set.⇒∃vi∈S s.t vi=k1−kiv1+...+ki−1−kivi−1+ki+1−ki+...+kn−kivn⇒∃(k1,k2,...,kn)∈Rn≠0⃗ s.t k1v1,+...+knvn=0, This leads to a contradiction.∴if k1v1+k2v2+...+knvn=0 for only (k1,k2,...,kn)=(0,0,...,0)⇒S is Linearly independent set\text{Nonempty set S=} \{v_1, v_2, ..., v_n\} \text{ in Vector space V is linearly independent if and only if} \\ k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_nv_n = 0 \text{ for only } (k_1, k_2, ..., k_n) = (0, 0, ..., 0) \\ {} \\ Proof) \ (\Rightarrow) \\ \text{Suppose S is Linearly independent set and }\\\exists (k_1, k_2, ..., k_n) \in \R^n \neq \vec{0} \ s.t \ k_1v_1, + ... + k_nv_n = 0. \\ {} \\ \Rightarrow \exist v_i \in S \ s.t \ k_1v_1 + ... + k_{i-1}v_{i-1} + k_{i+1}v_{i+1} + ... + k_nv_n = -k_iv_i , \ k_i \neq 0. \\ \Rightarrow v_i = \frac{k_1}{-k_i}v_1 + ... + \frac{k_{i-1}}{-k_i}v_{i-1} + \frac{k_{i+1}}{-k_i} + ... + \frac{k_n}{-k_i}v_n, \text{This leads to a contradiction.} \\ {} \\ \therefore \text{S is Linearly independent set }\Rightarrow k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_nv_n = 0 \\ \text{ for only } (k_1, k_2, ..., k_n) = (0, 0, ..., 0) \\ {} \\ (\Leftarrow) \\ \text{Suppose }k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_nv_n = 0 \text{ for only } (k_1, k_2, ..., k_n) = (0, 0, ..., 0) \\ \text{and S is Linearly dependent set.} \\ {} \\ \Rightarrow \exist v_i \in S \ s.t \ v_i= \frac{k_1}{-k_i}v_1 + ... + \frac{k_{i-1}}{-k_i}v_{i-1} + \frac{k_{i+1}}{-k_i} + ... + \frac{k_n}{-k_i}v_n \\ \Rightarrow \exists (k_1, k_2, ..., k_n) \in \R^n \neq \vec{0}\ s.t \ k_1v_1, + ... + k_nv_n = 0, \text{ This leads to a contradiction.} \\ {} \\ \therefore if \ k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_nv_n = 0 \text{ for only } (k_1, k_2, ..., k_n) = (0, 0, ..., 0) \\ \Rightarrow \text{S is Linearly independent set}
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1개의 댓글

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happy
2023년 7월 22일

이런 유용한 정보를 나눠주셔서 감사합니다.

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