Span of vector space

Span

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대해, $Span(S)$는 $S$의 벡터를 이용해 만들 수 있는 모든 선형 결합의 집합이다.

Property on Span

1. $Span(S)$는 $V$의 부분공간이다.

   $Proof) \\ Let \ S = \{v_1, v_2, ..., v_n\} \subset V \\ Then \ \forall(a_1, a_2, ..., a_n) \in \R^n, \sum_{i=1}^n a_iv_i\in V \\ \Rightarrow Span(S) \subset V \\ {} \\ \text{Now we will show Span(S) is subspace of V.} \\ {} \\ I) \exist0 \in Span(S) \ s.t \ 0 = 0v_1 + ... + 0v_n \\ {} \\ II) \forall \ s_1, s_2 \in Span(S) \ s. t\ s_1 = \sum_{i=1}^n a_iv_i, s_2= \sum_{i=1}^n b_iv_i, \\ s_1 + s_2 = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)v_i \in Span(S) \\ {} \\ III) \forall c \in F, \forall s \in Span(S) \ s.t \ s = \sum_{i=1}^n a_iv_i, \\ cs = \sum_{i=1}^n (ca_i)v_i \in Span(S) \\ {} \\ \therefore \text{Span(S) is subspace of V}$

2. $Span(S)$는 $S$를 포함한다.

   $Proof) \\ Let \ S = \{v_1, v_2, ..., v_n\} \subset V \\ Then \ \forall(a_1, a_2, ..., a_n) \in \R^n, \ \sum_{i=1}^n a_iv_i \in Span(S) \\ {} \\ \text{The for every } v_i \in S, \text{there exist } \R^n \ vector\ a_i\ such \ that \\ a_1 = (1, 0, ...,0), \ a_2 = (0, 1, 0, ..., 0)..., a_n = (0, 0, ..., 1). \\ {} \\ Then \ v_i = \sum_{i=1}^n a_iv_i \in Span(S). \ \therefore S \sub Span(S)$

3. $S$를 포함하는 $V$의 부분공간은 반드시 $Span(S)$를 포함한다.