Null space

Null space

$m \times n$ 행렬 $A$의 영공간은 $A$의 열벡터의 선형결합의 결과물을 $\vec{0}$으로 만드는 선형결합의 계수들의 집합이다.

Column space와의 관계성

열공간이 $A$의 열벡터의 선형결합의 가능한 결과물 벡터를 모두 모아놓은 집합이라면,
영공간은 $A$의 열벡터의 선형결합을 0으로 만드는 선형결합의 계수의 집합이다.

따라서 열공간은 $\R^m$의 부분집합이고, 영공간은 $\R^n$의 부분집합이다.

그리고 열공간은 $\R^m$의 부분공간이기 때문에 항상 영벡터를 포함한다.
따라서 $Ax=0$의 해 $x$는 모든 $A$에서 하나 이상 존재한다. $\vec{x} = \vec{0}$이면 선형결합이 항상 0이 되기 때문이다.

이 때 $Ax=0$을 만족하는 $x$를 모아놓은 것이 $Null(A)$이기 때문에 $Null(A)$의 최소 형태는 $\{\vec{0}\}$이다. 따라서 $Null(A)$는 공집합이 절대 될 수 없다.

영공간의 부분공간 증명