부분공간의 교집합
벡터공간 V의 부분공간 U,W가 있다고 할 때, U∩W도 V의 부분공간이다.
Proof)∀k∈R,∀v1,v2∈U∩W,v1,v2∈U⇒v1+v2∈U,kv1∈Uv1,v2∈W⇒v1+v2∈W,kv1∈W∴v1+v2∈U∩W,kv1∈U∩W⇒U∩W is subspace of V
열공간
m×n 크기의 행렬 A고 열벡터를 c1,c2,...,cn이라고 할 때, A의 열공간을 다음과 같이 정의한다.
C(A)={a1c1+a2c2+...ancn∣a1,a2,...,an∈R}
따라서 A의 열공간은 모든 A의 열벡터의 선형결합을 원소로 하는 집합이다.
열공간과 선형계의 해의 존재성
m×n 크기의 행렬 A에 대해 C(A)는 Rm의 부분공간이다. 따라서 경우에 따라 C(A)가 Rm의 모든 벡터를 포함하지 않을 수도 있다.
만약 선형계 Ax=b에서 b가 A의 열벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 없다면, 선형계의 해는 존재하지 않게 된다.
그런데 C(A)는 열벡터의 모든 선형 결합의 집합이므로, 이 경우 b∈/C(A)이다.
반대로 b∈/C(A)이면 b를 A의 열벡터의 선형결합으로 나타낼 수 없고, 따라서 선형계의 해가 존재하지 않는다.
따라서 ∃x s.t Ax=b≡b∈C(A)이다.
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