Rank-Nullity Theorem

STATS·2023년 8월 1일

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벡터공간 $V, W$ 에 대한 선형변환 $T : V \rightarrow W$ 가 있다고 하자.

영공간, 상공간

1. 영공간
영공간은 $V$ 의 원소 중 함수값이 $W$ 의 영벡터인 것들의 집합이다.

N(T) = \{x \in V | T(x) = 0_W\}

2. 상공간
상공간은 $T$ 의 치역을 의미한다. 즉 $W$ 의 원소 중 실제로 $V$ 의 원소와 대응하는 것이 있는 것들의 집합이다.

R(T) = \{T(x) \in W | x \in V\}

영공간과 상공간은 각각 $V$ 와 $W$ 의 부분공간이다.

$\beta = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ 가 $V$ 의 기저이면
$R(T) = Span(T(\beta)) = Span(\{T(v_1), T(v_2), ..., T(v_n)\})$

따라서 정의역 $V$ 의 기저의 $T$ 에 대한 상은 공역 $W$ 을 생성하는 생성집합이 된다.

\\ {} \\ \text{1. We will prove } R(T) \subset Span(T(\beta)) \\ \text{for every } w \in R(T), \text{there exist } v \in V \ s.t \ w = T(v) \\ \text{since } \beta \text{ is basis of V, there exist }(a_1, ..., a_n) \in R^n \ s.t \ v = a_1v_1 + ... + a_nv_n \\ \text{Then } w = T(a_1v_1 + ... + a_nv_n) = a_1T(v_1) + ... + a_nT(v_n) \\ \ \therefore R(T) \sub Span(T(\beta)) \\ {} \\ \text{2. We will prove } Span(T(\beta)) \sub R(T) \\ \text{since } T(\beta) \sub R(T) and R(T) \text{ is vector space, } Span(T(\beta)) \sub R(T) \\ {} \\ \therefore \text{By double containments, }R(T) = Span(T(\beta))

Rank(T)는 상공간 $R(T)$ 의 차원을 의미하고, Nullity(T)는 영공간 $N(T)$ 의 차원을 의미한다.

$V$ 가 $dim(V) = n$ 인 유한차원 벡터공간이면
$Nullity(T) + Rank(T) = n$

\\ {} \\ Proof) \\ \text{since }N(T) \sub V, dim(N(T)) = m \le n \\ \text{Let } \alpha \text{ be a basis of }N(T), \alpha = \{v_1, ..., v_m\} \\ \text{Because } \alpha \sub V \text{ and } \alpha \text{ is linearly independent set,} \\ \text{There exist Basis of V such that } \beta = \{v_1, ..., v_n\}, \alpha \sub \beta. \\ {} \\ \text{Then } R(T) = Span(\beta), \forall w \in R(T), w = a_1T(v_1) + ... +a_nT(v_n) \\ \text{We can keep span same by omitting } \{T(v_1), ..., T(v_m)\} \text{ from } T(\beta), \\ \text{since } \{T(v_1), ..., T(v_m)\} \text{ is set of zero vectors.} \\ {} \\ \text{Now we will show } \{T(v_{m+1}), ..., T(v_n)\} \text{ is Linearly independent set.} \\ a_1T(v_{m+1}) + ... + a_{n-m}T(v_n) = 0 \equiv T(a_1v_{m+1}+...a_{n-m}v_n) = 0 \equiv \\ a_1v_{m+1} + ... + a_{n-m}v_n \in N(T) \\ {} \\ \text{And this means there exist linear combination of basis of N(T), this equivalent to}\\ {} a_1v_{m+1} +...+a_{n-m}v_n = c_1v_1 + ... c_mv_m \equiv\\ c_1v_1 + ... + c_mv_m + a_1v_{m+1}+...+a_{n-m}v_n = 0 \\ \text{since } \{v_1, ..., v_n\} \text{ is basis for V, the coefficient are only 0.} \\ \text{Therefore } \{a_{1} , ..., a_{n-m}\} = 0, \{T(v_{m+1}), ..., T(v_n)\} \text{is Linearly independent set} \\ {} \\ \text{So }\{T(v_{m+1}), ..., T(v_n)\} \text{ is basis of R(T), dim(R(T)) = n-m} \\ \text{Nullity(T) + Rank(T) = m+(n-m) = n = dim(V)}

2023년 8월 1일

이런 유용한 정보를 나눠주셔서 감사합니다.

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