선형변환의 정의와 예시

STATS·2023년 7월 31일

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선형변환

벡터공간 $V, W$ 가 있다고 하자.
함수 $T:V \rightarrow W$ 가 모든 $x, y \in V, c \in F$ 에 대해

를 만족하면 함수 $T$ 를 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형변환이라고 한다.

1. $T(0) = 0$

T(0+0) = T(0) + T(0) \Rightarrow T(0) + (-T(0)) = T(0) + T(0)+(-T(0))\Rightarrow \\ 0 = T(0) \Rightarrow T(0) = 0 \\ {} \\

2. $T$ 가 선형 $\equiv$ $\forall x, y \in V, c \in F, \ T(cx+y) = cT(x)+T(y)$

(\Rightarrow) \ T(cx+y) = T(cx) + T(y) = cT(x)+T(y) \\ {} \\ (\Leftarrow) \ c=1 \Rightarrow T(x+y) = T(x)+T(y) \\ y= 0 \Rightarrow T(cx+0) = cT(x)+T(0) \Rightarrow T(cx) = cT(x)

1. 회전

T:R^2 \rightarrow R^2, T(a_1, a_2) = (a_1cos\theta - a_2sin\theta, a_1sin\theta+a_2cos\theta) \\ {} \\ x = (a_1, a_2), y = (b_1, b_2) \\ {} \\ T(cx + y) = T(ca_1+b_1, ca_2+b_2) = \\((ca_1+b_1)cos\theta- (ca_2+b_2)sin\theta, (ca_1+b_1)sin\theta + (ca_2+b_2)cos\theta) \\ {} \\ cT(x)+T(y) = cT(a_1, a_2) + T(b_1, b_2) = \\ (ca_1cos\theta - ca_2sin\theta + b_1cos\theta-b_2sin\theta, ca_1sin\theta+ca_2cos\theta + b_1sin\theta+b_2cos\theta) = \\ ((ca_1+b_1)cos\theta- (ca_2+b_2)sin\theta, (ca_1+b_1)sin\theta + (ca_2+b_2)cos\theta) \\ {} \\ \therefore T(cx+y) = cT(x)+T(y)

2. 대칭

T: R^2 \rightarrow R^2, T(a_1, a_2) = (-a_1, -a_2) \\ {} \\ x = (a_1, a_2), y = (b_1, b_2) \\ {} \\ T(cx+y) = T(ca_1+b_1, ca_2+b_2) = (-ca_1-b_1, -ca_2-b_2) \\ {} \\ cT(x)+T(y) = c(-a_1, -a_2) + (-b_1, -b_2) = (-ca_1-b_1, -ca_2-b_2) \\ {} \\ \therefore T(cx+y) = cT(x)+T(y)

3. 사영

T:R^2 \rightarrow R^2, T(a_1, a_2) = (a_1, 0) \\ {} \\ x= (a_1, a_2), y = (b_1, b_2) \\ {} \\ T(cx+y) = T(ca_1 + b_1, ca_2 + b_2) = (ca_1+b_1, 0) \\ {} \\ cT(x) + T(y) = c(a_1, 0) + (b_1, 0) = (ca_1+b_1, 0) \\ {} \\ \therefore T(cx+y) = cT(x)+T(y)

1. 미분연산자
$V$ 를 무한번 미분 가능하고, 정의역과 공역이 $R$ 인 함수를 모아놓은 벡터공간이라고 하자.

T:V \rightarrow V, T(f) = f' \\ {} \\ g, h \in V, c \in R \\ {} \\ T(cg+h) = (cg+h)' = (cg)'+h' = cg'+h' \\ {} \\ cT(g) + T(h) = ag'+h' \\ {} \\ \therefore T(cg+h) = cT(g)+T(h)

2. 적분연산자
$V$ 를 실수 전체에서 연속이고, 정의역과 공역이 $R$ 인 함수를 모아놓은 벡터공간이라고 하자.
$a, b \in R$ 이다.

T:V \rightarrow R, T(f) = \int_a^b f(t)dt \\ {} \\ f, g \in V \\ {} \\ T(cf+g) = \int_a^b (cf+g)(t)dt = c\int_a^bf(t)dt + \int_a^bg(t)dt \\ {} \\ cT(f) + T(g) = c\int_a^b f(t)dt + \int_a^b g(t)dt \\ {} \\ \therefore T(cf+g) = cT(f)+T(g)

1. 항등변환
항등변환은 변환의 결과가 입력과 동일한 선형 변환이다.

I_V:V \rightarrow V, \forall x \in V, I_V(x) = x

2. 영변환
영변환은 변환의 결과가 모두 영벡터가 되는 선형 변환이다.

T_0: V \rightarrow W, \forall x \in V, T_0(x) = 0