생성집합과 선형종속의 관계성

생성공간이 필요한 이유

무한체 $F$(ex. 실수/복소수) 위의 벡터 공간 $V$가 영공간이 아닐 때, $V$는 원소를 무한히 많이 가진다. 벡터들의 합과 스칼라 곱이 모두 $V$에 속하기 때문이다.

만약 $V$를 생성하는 $V$의 작은 유한 부분집합 $S$가 존재한다면 $V$의 모든 원소를 $S$의 유한한 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있기 때문에 $V$의 성질을 효율적으로 표현할 수 있다.

효율적인 생성집합의 표현

$V$를 생성하는 $S \subset V$는 무한히 많은데, 그 중 가장 효율적인 $S$는 벡터의 개수가 가장 적은 $S$를 의미한다.

왜냐하면 동일하게 $V$를 생성하는 $S_1, S_2$가 있을 때, $S_1$의 벡터 개수가 $S_2$의 벡터 개수보다 적다면 더 적은 일차결합 연산으로 동일한 범위의 벡터를 표현할 수 있기 때문이다.

따라서 우리의 목표는 $V = span(S)$를 만족하는 $S \subset V$ 중, 가장 작은 크기의 $S$를 찾는 것이다.

생성공간과 선형종속

만약 $S$의 어떤 벡터가 다른 벡터들의 일차 결합으로 표현된다면, 해당 벡터를 제외해도 $V = span(S)$를 만족한다.

예를 들어 $S = \{v_1, v_2, v_3, v_1+2v_2+3v_3\}$일 때 $Span(S) = \{(a_1+a_4)v_1 + (a_2+2a_4)v_2 + (a_3+3a_4)v_3 | a_1, a_2, a_3, a_4 \in \R\}$이므로 $v_1+2v_2+3v_3$이 없어도 $S$는 동일한 생성공간을 가진다.

따라서 가장 작은 크기의 $S$를 찾는 것은 $S$ 내부에 나머지 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있는 벡터들이 없을 때까지 $S$를 줄여나가는 것과 동일하다.

그리고 $S$가 최소생성집합이 되었을 때 $S$는 선형독립이며 $V = Span(S)$를 만족한다. 이 때의 $S$를 벡터공간 $V$의 기저라고 한다. 즉 벡터공간의 기저는 해당 공간을 생성하며, 더 이상 제거할 수 있는 (불필요한) 벡터가 없는 부분집합을 의미한다.