가역행렬의 조건

가역행렬이면 정방행렬이다

$V, W$가 각각 $n, m$ 차원이고 $\beta, \gamma$를 순서기저로 가지는 유한차원 벡터공간이라고 하자.

$m \times n$ 행렬 $A$가 가역행렬이라고 하자. $M_{m \times n}(F)$와 $ℒ(V, W)$은 동형사상이므로 $A=[T]_\beta^\gamma$인 $T : V \rightarrow W$가 항상 존재한다. $A=[T]_\beta^\gamma$가 가역행렬이려면 $T$는 가역이어야 한다. $T$가 가역이고, $V$가 유한차원이라면 $dim(V) = dim(W)$에서 $m=n$을 얻는다.

따라서 임의의 행렬 $A$가 가역행렬이려면 $A$의 크기는 $n \times n$, 즉 정방행렬이어야 한다.

정방행렬이어도 가역행렬이 아닐 수 있다

$n \times n$ 행렬 $A$가 있다고 하자. $M_{n \times n}(F)$와 $ℒ(V, W)$은 동형이므로 $A=[T]_\beta^\gamma$인 $T : V \rightarrow W$가 항상 존재한다.

그러나 이 동형은 $M_{n \times n}(F)$와 $ℒ(V, W)$ 사이의 동형이기 때문에, $A$에 대응하는 $T$가 가역임을 보장하지는 않는다. 따라서 만약 $T$가 가역이 아니라면 대응하는 $A$도 가역행렬이 아니다.

따라서 $A$가 정방행렬이더라도 $A$를 행렬표현으로 가지는 선형변환 $T$가 가역이 아니라면 $A$는 가역행렬이 아니다.