좌표변환 행렬

STATS·2023년 8월 10일
선형대수학

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기저의 변환

기저는 벡터공간의 모든 원소를 유일한 방식으로 표현할 수 있게 해준다. 그러나 상황에 따라서 표준 순서 기저가 아닌 다른 기저를 이용할 때 데이터의 해석이 더 쉬운 경우도 있다. 따라서 동일한 벡터에 대한 한 기저의 표현을 다른 기저의 표현으로 옮길 수 있는 방법이 필요하다. 유한차원 벡터공간에서, 한 벡터에 대한 기저표현의 변환 작업은 좌표변환 행렬을 이용해 쉽게 구현할 수 있다.

좌표변환 행렬

유한차원 벡터공간 VV의 두 순서 기저 β,β′\beta, \beta'이 있다고 하자.
이 때 β′\beta'에서 β\beta로 벡터의 좌표를 변환하는 좌표변환 행렬을 Q=[IV]β′βQ = [I_V]_\beta'^\beta로 정의한다.

좌표변환 행렬의 성질

  1. QQ는 가역행렬이다.
  2. 임의의 v∈Vv \in V에 대해서 [v]β=Q[v]β′[v]_\beta = Q[v]_{\beta'}이다.

증명)
1. IVI_V가 가역이므로 QQ도 가역이다.
2. [v]β[v]_\beta = [I(v)]β[I(v)]_\beta = [IV]β′β[v]β′[I_V]_{\beta'}^\beta [v]_{\beta'} = Q[v]β′Q[v]_{\beta'}

좌표변환 행렬의 역행렬

Q가 β′\beta'의 좌표를 β\beta로 옮길 때, Q−1Q^{-1}은 β\beta의 좌표를 β′\beta'으로 옮긴다.

증명)
Q=[IV]β′β⇒Q−1=[IV−1]ββ′=[IV]ββ′Q = [I_V]_{\beta'}^\beta \Rightarrow Q^{-1} = [I_V^{-1}]_\beta^{\beta'}= [I_V]_\beta^{\beta'}

선형연산자의 행렬표현과 좌표변환 행렬

선형연산자는 동일한 벡터공간 간에 정의되는 선형변환을 의미한다.
유한차원 벡터공간 VV에 대해 서로 다른 순서 기저 β,β′\beta, \beta'가 있을 때, 각 기저가 선형변환을 통해 동일한 기저로 어떻게 표현되는지는 각각 [T]β,[T]β′[T]_\beta, [T]_{\beta'}을 통해 알 수 있다. 이 때 두 행렬은 좌표변환 행렬을 매개로 연결된다.

[T]β′=Q−1[T]βQ, Q=[Iv]β′β[T]_{\beta'} = Q^{-1}[T]_\beta Q, \ Q = [I_v]_{\beta'}^\beta
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