포아송 분포, 지수 분포

STATS·2023년 6월 28일

수리통계학

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포아송 분포는 기준 간격이나 시간, 거리, 공간에서 특정 사건이 발생하는 횟수에 대한 확률 분포다.
예를 들어 1년 동안 태풍이 한국에 직접적으로 닿는 횟수, 08:00부터 17:00까지 학교 정문에 사람이 들어오는 사건의 횟수들을 포아송 분포로 모델링할 수 있다.

포아송 분포는 한 구간에서 평균적으로 발생하는 사건의 횟수를 파라미터로 받으며, 확률 함수는 다음과 같다.

X \sim Poisson(\lambda) \\ {} \\ f_X(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}I(x \in \{0, 1, 2,...\} \\ {} \\ X_i \sim Poisson(\lambda_i), X_i's \ are \ indep. \\ \Rightarrow Y = \sum X_i \sim Poisson(\sum \lambda_i)

포아송 분포가 일정 구간에서의 사건의 발생 횟수를 의미한다면, 첫 사건의 발생까지 걸리는 시간도 확률 변수로 볼 수 있다. 이는 다음의 과정에 의해 도출된다.

포아송 과정 $X_t$ 는 $t$ 시간 동안 특정 사건이 발생한 횟수로 정의된다.

P(t시간 \ 동안 \ 사건 \ 미발생) = P(X_t = 0) = e^{-\lambda t} = P(첫 \ 발생까지의 \ 시간 > t) \\ \Rightarrow P(첫 \ 발생까지의 \ 시간 \le t) = 1-e^{-\lambda t} \\ {} \\ Y : 첫 \ 사건의 \ 발생까지의 \ 시간 \\ F_Y(y) = P(Y \le t) = 1-e^{-\lambda t} \Rightarrow f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}I(\lambda > 0)

이 때 확률 변수 $Y$ 의 분포를 지수 분포라고 한다. 즉, 확률 변수 $X$ 가 평균 사건 발생 횟수가 $\lambda$ 인 분포일 때, 첫 사건 발생까지의 시간(대기 시간)을 확률 분포로 모델링한 것이 지수 분포다.

Y \sim exponential(\lambda) \\ {} \\ f_Y(y) = \lambda e^{- \lambda y}I(y > 0)

지수 분포는 다음과 같은 성질을 만족한다.
즉 이미 지난 시간 $s$ 가 주어졌을 때, 앞으로 $t$ 시간만큼 더 기다리는 사건의 확률은 이미 $s$ 시간만큼 기다렸다는 정보와 독립적이다.

다시 말해 지금까지 몇 시간이 지났건 앞으로 $t$ 시간만큼 기다려야 사건이 발생할 확률은 동일하다.

P(Y > s + t \lvert Y > s) = P(Y > t) \\ {} \\ Proof) \\ P(Y > s+t \lvert Y > s) = \frac{P(Y>s+t, Y>s)}{P(Y > s)} = \frac{P(Y > s+t)}{P(Y > s)} \\ = \frac{1-P(Y \le s+t)}{1 - P(Y \le s)} = \frac{1-F_Y(s+t)}{1-F_Y(s)} =\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{- \lambda t} = 1 - (1-e^{- \lambda t}) \\= 1-P(Y \le t) = P(Y > t) \\ {} \\ \therefore P(Y > s+t \lvert Y> s ) = P(Y > t)