기본행렬연산과 기본행렬

STATS·2023년 8월 11일
선형대수학

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기본연산

m×nm \times n 행렬 AA에 대해 AA의 행(열)연산을 다음과 같이 정의한다.

  1. AA의 두 행(열)을 교환하는 것
  2. AA의 한 행(열)에 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것
  3. AA의 한 행(열)에 다른 행(열)의 스칼라 배를 더하는 것

위 세가지 행(열)연산을 통틀어 기본연산이라고 한다.

기본행렬

n×nn \times n 기본행렬은 항등행렬 InI_n에 한번의 기본연산을 적용해 얻는 행렬이다.

ex) I3=[100010001]⇒E1=[010100001],E2=[10−2010001]ex) \ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \Rightarrow E_1 =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} , E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

기본연산과 기본행렬의 관계성

행렬 A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(F)에 행(열)연산을 해서 행렬 BB를 얻었다면 행연산의 경우 B=EAB = EA, 열연산의 경우 B=AEB = AE를 만족하는 기본행렬 EE가 존재한다.

역으로 EE가 m×mm \times m 기본행렬일 때, ImI_m에서 EE를 얻은 행연산을 AA에 적용하면 EAEA가 된다.

열연산의 경우 EE가 n×nn \times n 기본행렬일 때, InI_n에서 EE를 얻은 열연산을 AA에 적용하면 AEAE가 된다.

증명)
행연산의 경우를 증명하고 그 결과를 바탕으로 열연산의 경우에도 성립함을 증명하자.

I) AA의 두행을 교환해서 BB를 얻은 경우
BB를 AA의 ii행과 jj행을 교환해서 얻은 행렬이라고 하자.
EE를 ImI_m의 ii행과 jj행을 교환해서 얻은 기본행렬이라고 하면 다음을 만족한다.

임의의 행렬 C의 k번째 행을 Ck∗라고 정의하자.(EA)k∗={Aj∗ (k=i),Ai∗ (k=j),Ak∗ (k≠i, k≠j)\text{임의의 행렬 C의 k번째 행을 }C_{k*}\text{라고 정의하자.} \\ {} \\ (EA)_{k*} = \begin{cases} A_{j*}\ (k=i),\\ A_{i*}\ (k=j),\\ A_{k*}\ (k \neq i, \ k \neq j) \end{cases}

따라서 EAEA는 AA에 ii행과 jj을 교환하는 행연산을 한 결과와 동일하다. 따라서 B=EAB = EA다.
역으로 InI_n에서 EE를 얻을 때 사용한 ii행과 jj행을 교환하는 연산을 AA에 가해서 BB를 얻었다고 해석할 수도 있다.

II) AA의 한행에 영이 아닌 스칼라를 곱해 BB를 얻은 경우
BB를 AA의 ii행에 스칼라 c≠0c \neq 0을 곱해서 얻은 행렬이라고 하자.
EE를 ImI_m의 ii행에 cc를 곱해서 얻은 기본행렬이라고 하면 위의 도식과 비슷하게 다음을 만족한다.

(EA)k∗={cAi∗ (k=i),Ak∗ (k≠i)(EA)_{k*} = \begin{cases} cA_{i*}\ (k=i),\\ A_{k*}\ (k \neq i) \end{cases}

따라서 EAEA는 AA의 ii행에 cc를 곱하는 행연산을 한 결과와 동일하다.따라서 B=EAB = EA다.
역으로 ImI_m에서 EE를 얻을 때 사용한 ii행에 cc를 곱하는 연산을 AA에 가해서 BB를 얻었다고 해석할 수 있다.

III) AA의 한행에 다른 행의 스칼라배를 더해 BB를 얻은 경우
BB를 AA의 ii행을 cc배 한 것을 jj행에 더해 얻은 행렬이라고 하자.
EE를 InI_n의 ii행을 cc배 한 것을 jj행에 더해 얻은 기본행렬이라고 하면 다음을 만족한다.

(EA)k∗={cAi∗+Aj∗ (k=j),Ak∗ (k≠j)(EA)_{k*} = \begin{cases} cA_{i*} + A_{j*}\ (k=j),\\ A_{k*}\ (k \neq j) \end{cases}

따라서 EAEA는 AA의 ii행을 cc배 한 것을 jj행에 더해 얻은 결과와 동일하다.따라서 B=EAB = EA다.
역으로 ImI_m에서 EE를 얻을 때 사용한 ii행을 cc배 한 것을 jj행에 더하는 연산을 AA에 가해서 BB를 얻었다고 해석할 수 있다.

이제 열연산의 경우를 살펴보자.
BB를 AA에 임의의 열연산을 해서 얻어지는 행렬이라고 하자.
이 때 AA 각 열에 열연산을 하는 것은, ATA^T의 관점에서 보면(행렬을 90도 돌려서 보면) ATA^T에 행연산을 하는 것과 동일하다. 따라서 ATA^T에 행연산을 진행한 행렬은 어떤 기본행렬 EE가 존재해서 EATA^T와 동일하다. 이제 (EAT)T(EA^T)^T를 계산하면 B=AETB = AE^T를 얻는다. 그런데 ETE^T는 기본열연산에 대응하는 행렬이므로 E′=ETE' = E^T라고 하면 B=AE′B = AE'이다.

기본행렬의 가역성

모든 기본행렬은 가역행렬이다. 그리고 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다.

증명)
행연산의 경우만 증명한다. 열연산의 경우는 행연산의 결과를 전치해서 적용하면 일반성을 잃지 않고 참임을 알 수 있다.

I) ImI_m의 두 행을 교환해서 EE를 얻는 경우
EE=IEE = I이므로 E^{-1} = E이다. 두 행을 교환했다가 다시 교환하면 원래대로 돌아오기 때문이다.

II) ImI_m의 한 행에 스칼라배를 해서 EE를 얻는 경우
ImI_m의 ii행에 스칼라 cc를 곱한 기본행렬을 EE라고 하자.
E′E'를 ImI_m의 ii행에 1c\frac{1}{c}를 곱한 기본행렬로 정의하면 E′E=EE′=ImE'E = EE' = I_m을 만족한다. 따라서 E−1=E′E^{-1} = E'이다.

III) ImI_m의 한 행에 스칼라 배를 한 것을 다른 행에 더해서 EE를 얻는 경우
ImI_m의 ii행에 cc를 곱한 것을 jj행에 더해 얻는 기본행렬을 EE라고 하자.
E′E'를 ImI_m의 ii행에 −c-c를 곱해서 jj행에 더해 얻는 기본 행렬이라고 정의하면 E′E=EE′=ImE'E = EE' = I_m이다. 따라서 E−1=E′E^{-1} = E'이다.

위 세 증명에서 알 수 있는 것은 임의의 기본행렬의 역행렬은 역연산을 진행한다는 점이다.
예를 들어 EE가 두번째 행에 3을 곱하는 행연산에 대응한다면 E′E'은 두번째 행에 1/3을 곱하는 행연산에 대응한다. 따라서 E′EE'E은 EE를 적용하기 전의 원래 행렬로 돌아올 것이다.

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