행렬의 랭크

행렬의 랭크의 정의

행렬 $A \in M_{m \times n}(F)$의 랭크는 선형변환 $L_A:F^n \rightarrow F^m$의 랭크로 정의한다.

정방행렬의 가역성

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해서,
$A$가 가역행렬 $\Leftrightarrow$ $A$의 랭크가 $n$

증명)
$(\Rightarrow)$ $n \times n$ 행렬 $A$가 가역행렬이라고 하자. 이때 선형변환 $L_A : F^n \rightarrow F^n$과 $F^n$의 표준순서기저 $\beta$에 대해 $A = [L_A]_\beta$이다. $A$가 가역이므로 $L_A$도 가역이고, 따라서 $L_A$는 전사함수이므로 $R(L_A) = F^n$이므로 $Rank(L_A) = dim(R(L_A)) = dim(F^n) = n$이다. 행렬 랭크의 정의에 따라 행렬 $A$의 랭크는 $n$이다.

$(\Leftarrow)$ $n \times n$ 행렬 $A$의 랭크가 $n$이라고 하자. 따라서 선형변환 $L_A : F^n \rightarrow F^n$의 랭크가 $n$이고, $Rank(L_A) + Nullity(L_A) = n$에서 $Nullity(L_A) = 0$이므로 $L_A$는 가역이다.
따라서 $A = [L_A]_\beta$도 $A^{-1} = [L_A^{-1}]_\beta$가 존재하는 가역행렬이다.

선형변환과 행렬의 랭크

유한차원 벡터공간 $V, W$에 대해, 선형변환 $T:V \rightarrow W$이고 $\beta, \gamma$가 각각 $V, W$의 순서기저일 때,

$Rank(T) = Rank([T]_\beta^\gamma)$

증명)
$V$의 차원을 $n$, $W$의 차원을 $m$이라고 하자. $\beta, \gamma$를 각각 $F^n$과 $F^m$의 표준순서기저라고 하자. $V$와 $F^n$은 $V$의 표준표현 $\phi_\beta$에 의해 동형이고, $W$도 $F^m$과 $W$의 표준표현 $\phi_\gamma$에 의해 동형이다.

$A = [T]_\beta^\gamma$라고 하면 $L_A\phi_\beta$ = $\phi_\gamma T$가 성립한다. 따라서 각각의 선형변환에서 $V$의 상(이미지)를 구하면 다음과 같다.

이때 행렬의 랭크의 정의에 따라 $Rank(L_A) = Rank(A)$이므로 $Rank(T) = Rank([T]_\beta^\gamma$이다.

따라서 어떤 선형변환의 랭크를 찾는 것은 선형변환의 행렬표현의 랭크를 찾는 것과 동일하다.

기본행(열)연산은 행렬의 랭크를 보존한다

$m \times n$ 행렬 $A$, $m \times m$ 가역행렬 $P$. $n \times n$ 가역행렬 $Q$에 대해

1. $Rank(AQ) = Rank(A)$
2. $Rank(PA) = Rank(A)$

증명)
(1) $L_Q : R^n \rightarrow R^n$이 동형사상이므로 다음이 성립한다.

$Rank(AQ) = Rank(L_{AQ}) = Rank(L_AL_Q) = dim(R(L_AL_Q)) = dim(L_AL_Q(F^n)) = dim(L_A(F^n)) = dim(R(L_A)) = Rank(L_A)=Rank(A) \Rightarrow Rank(AQ) = Rank(A)$

(2) $L_P : R^m \rightarrow R^m$이 동형사상이므로 다음이 성립한다.

$Rank(PA) = Rank(L_{PA}) = Rank(L_PL_A) = dim(R(L_PL_A)) = dim(L_PL_A(F^n))= dim(L_P(L_A(F^n))) = dim(L_A(F^n)) = dim(R(L_A)) = Rank(L_A) = Rank(A) \Rightarrow Rank(PA) = Rank(A)$

기본행(열)연산은 기본행렬 $E$를 다른 행렬에 곱하는 것으로 나타낼 수 있다. 또한 $E$는 항상 가역행렬이므로 $E$와 곱연산이 성립하는 행렬 $A$에 대해 $EA$(행연산)와 $AE$(열연산) 모두 $A$와 랭크가 동일하다.

랭크와 일차독립

행렬의 랭크는 일차독립인 열의 최대 갯수와 동일하다. 즉, 행렬의 랭크는 열에 의해 생성되는 부분공간의 차원이다.

증명)
$m \times n$ 행렬 $A$에 대해 $Rank(A) = Rank(L_A)$이다. $F^n$의 표준순서기저를 $\alpha$ = $\{e_1, ..., e_n\}$, $F^m$의 표준순서기저를 $\beta$ = $\{e'_1, ..., e'_m\}$이라고 하면 $A = [L_A]_\alpha^\beta$이다.

$A$의 $j$번째 열을 $a_j$라고 하자. $A = [L_A]_\alpha^\beta$에서 $A$의 각 열은 $\{Ae_1, ..., Ae_n\} = \{a_1, ..., a_n\}$이다. 따라서 $Rank(A) = Rank(L_A) = dim(R(L_A)) = dim(span\{a_1, ..., a_n\})$이다. 따라서 $\{a_1, ..., a_n\}$ 중 일부를 제거하면 $\{a_{i_1}, ..., a_{i_k}\}$의 $R(L_A)$의 기저를 만들 수 있다. 이 때 $Rank(L_A) = dim(R(L_A))$는 $k$가 된다.

따라서 $Rank(A)$는 $A$의 일차독립인 열의 최대 갯수(=열공간의 기저의 벡터 개수 = 열공간의 차원)이다.