기저 관련 정리, 부분공간의 차원

$V$가 유한차원 벡터공간이고 $dim(V) = n$이면 다음과 같은 성질을 지닌다.

기저와 차원

• 벡터공간 $V$의 기저는 $V$를 생성하며, 일차독립인 $V$의 부분집합이다.
• $V$는 유한집합인 기저를 포함한다. 이 때 $V$의 모든 기저는 유한집합이고 크기가 $n$으로 동일하다.

기저와 일차독립

• $V$의 일차독립인 부분집합은 $n$개를 초과하는 벡터를 가질 수 없다. 그리고 적절히 몇 개의 벡터를 추가해 기저로 확장할 수 있다.

기저와 생성집합

• $V$를 생성하는 부분집합은 $n$개 미만의 벡터를 가질 수 없다. 그리고 적절히 몇 개의 벡터를 제거해 기저로 축소할 수 있다.

부분공간의 차원

유한차원 벡터공간 $V$에 대해 부분공간 $W$는 유한차원이고, $dim(W) \le dim(V)$이다.
만약 $dim(W) = dim(V)$이면 $W = V$이다.

유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간 $W$를 생각하자. $W$에서 임의의 기저를 가져오면 이 기저를 확장해 $V$의 기저를 얻을 수 있다.