라그랑주 보간법

STATS·2023년 7월 30일

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라그랑주 다항식

무한체 $F$ 의 스칼라 $c_0, c_1, ..., c_n$ 이 주어졌다고 하자. 이 때 $c_i$ 각각에 대한 라그랑주 다항식을 다음과 같이 정의한다.

f_i(x) = \frac{(x-c_0)...(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})...(x-c_n)}{(c_i-c_0)... (c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})...(c_i-c_n)} \\ {} \\ f_i(c_i) = \begin{cases} 0 \ (i\neq j)\\ 1 \ (i = j) \end{cases}

각 $f_i(x)$ 의 차수는 $n$ 이고, $f_i(x) \in P_n(F)$ 이다.

$c_0, c_1, ..., c_n$ 에 대한 라그랑주 다항식 $\beta = \{f_0, f_1, ..., f_n\}$ 이 $P_n(F)$ 의 일차독립인 부분집합임을 증명하자.

\sum_{i=0}^n a_if_i(c_j) = a_j \\ \sum_{i=0}^n a_if_i = 0 \Rightarrow \sum_{i=0}^n a_if_i(c_j) = 0 \Rightarrow a_j = 0 \ (j \in \{0, 1, ..., n\})

따라서 $\beta$ 는 일차독립인 $P_n(F)$ 의 부분집합이다.

그리고 $dim(P_n(F)) = n+1$ 이고, $\beta$ 는 $(n+1)$ 개의 벡터를 가진 일차결합인 부분집합이므로 $\beta$ 는 $P_n(F)$ 의 기저다.

따라서 임의의 $P_n(F)$ 의 다항식을 $\beta$ 의 유일한 일차결합으로 표현할 수 있다.

데이터 포인트 $(c_0, b_0), (c_1, b_1), ..., (c_n, b_n)$ 이 주어졌다고 하자.
이 때 각 데이터 포인트를 지나는 $n$ 차 이하의 다항식은 라그랑주 다항식의 일차결합으로 유일하게 결정된다.

g = \sum_{i=0}^n g(c_i)f_i = \sum_{i=0}^n b_if_i \text{ 는 유일하게 결정되는 n차 이하의 다항식이다.}

(1,8), (2, 5), (3, -4)\text{가 주어졌을 때, 모든 점을 지나는 2차 이하의 다항식을 구하자.} \\ {} \\ f_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2}(x^2-5x+6) \\ {} \\ f_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = -1(x^2-4x+3) \\ {} \\ f_2(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = \frac{1}{2}(x^2-3x+2) \\ {} \\ g(x) = 8f_0(x) + 5f_1(x) -4f_2(x) = -3x^2 + 6x + 5