벡터공간의 차원

기저 크기의 동일성

벡터공간 $V$가 유한집합인 기저를 가질 때, $V$의 모든 기저는 유한집합이고 크기는 동일하다.

벡터공간의 차원

기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원 벡터공간이라고 한다.
$V$의 기저가 n개의 벡터로 이루어질 때 n을 $V$의 차원이라고 정의하고 $dim(V)$로 표기한다.

유한차원 벡터공간 $V$에 대해 임의의 일차독립인 $S \subset V$의 크기는 $dim(V)$를 초과할 수 없다.

유한집합인 기저가 존재하지 않는 벡터공간은 무한차원 벡터공간이라고 한다.

생성집합과 기저

1) $V$의 유한 생성집합의 크기는 반드시 $n$ 이상이다. 만약 생성집합의 크기가 $n$이라면 $V$의 기저가 된다.

2) 일차독립이고 $n$개의 벡터로 이루어진 $V$의 부분집합은 $V$의 기저다.

3) $L \subset V$가 일차독립이면 $L \subset \beta$인 기저 $\beta$가 존재한다.