선형변환의 가역성

선형변환의 역함수

벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T:V \rightarrow W$가 있다고 하자.

$TU = I_W, UT =I_V$

를 만족하는 함수 $U:W \rightarrow V$를 $T$의 역함수라고 한다.

역함수가 존재하는 $T$를 가역이라고 하며, $T^{-1}$로 표기한다. $T$가 가역이면 역함수는 유일하다.

가역인 함수의 성질

가역인 함수 $T, U$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1}$
2. $(T^{-1})^{-1} =T$, $T$는 가역
3. $dim(V) = dim(W)$일 때, $T:V \rightarrow W$가 가역 $\equiv$ $Rank(T) = dim(V)$

선형변환의 역함수의 선형성

벡터공간 $V, W$와 가역인 선형변환 $T:V\rightarrow W$에 대해, 역함수 $T^{-1}:V \rightarrow W$도 선형이다.

증명)
$T$가 가역이기 때문에 $T$는 전사함수이다. 따라서 모든 $x_1, x_2 \in V$에 대해 y_1, y_2 \in W가 존재해서 $T(x_1) = y_1, T(x_2) = y_2$를 만족하고, 역함수의 정의에 따라 $T^{-1}(y_1) =x_1, T^{-1}(y_2) = x_2$이다.

따라서 $T$의 역함수 $T^{-1}:W \rightarrow V$도 선형변환이다.

가역과 벡터공간의 차원

선형변환 $T:V \rightarrow W$가 가역일 때, $V$가 유한차원 $\equiv$ $W$가 유한차원이다. 이 때, $dim(W) = dim(V)$이다.

증명)
$(\Rightarrow)$ $T$가 가역이므로 $T$는 전단사함수다. 따라서 $R(T) = W$, $N(T) = \{0\}$를 얻는다.

Rank-Nullity theorem에 의해 $Rank(T) + Nullity(T) = dim(V) \Rightarrow dim(W) + 0 = dim(V)$이다. 이 때 $V$는 유한차원이므로 $W$도 유한차원이다.

$(\Leftarrow)$ 위의 증명에서 일반성을 잃지 않고 $V$와 $W$를 바꾸면 증명할 수 있다.

행렬의 가역성

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $AB = BA = I$인 $n \times n$ 행렬 $B$가 존재할 때, $A$는 가역이라고 한다. $A$가 가역일 때 역행렬 $B$는 유일하다.

$n \times n$ 행렬 $A$가 가역 $\equiv$ $L_A$가 가역

증명)
$(\Rightarrow)$ $A$가 가역이면 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$를 만족하는 $A^{-1}$가 존재한다.

$L_AL_{A^{-1}}(x) = AA^{-1}x = Ix = x, \ L_{A^{-1}}L_A(x) = A^{-1}Ax = Ix = x$이므로 $L_A$는 가역이고, $(L_A)^{-1} = L_{A^{-1}}$이다.

$(\Leftarrow)$ $L_A$가 가역이면 $L_B : F^n \rightarrow F^n$이 존재해서 $L_AL_B = L_BL_A = I_{F^n}$을 만족한다.

따라서 모든 $x \in F^n$에 대해 $ABx = BAx = x$이므로 $AB = BA = I_n$이다. 따라서 $B = A^{-1}$이므로 $A$는 가역행렬이다.

역행렬과 선형변환의 역함수의 관계성

유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$, 선형변환 $T: V \rightarrow W$에 대해,
$T$가 가역 $\equiv$ $[T]_\beta^\gamma$가 가역이다.

증명)
$(\Rightarrow)$ $T$가 가역이면 $T$의 역함수 $T^{-1}$에 대해 $[I_V]_\beta = [T^{-1}T]_\beta = [T^{-1}]_\gamma^\beta[T]_\beta^\gamma$, $[I_W]_\gamma= [TT^{-1}]_\gamma = [T]_\beta^\gamma[T^{-1}]^\beta_\gamma$이다.

따라서 $[T]_\beta^\gamma$는 역행렬 $[T^{-1}]^\beta_\gamma$이 존재하므로 가역이다.

$(\Leftarrow)$ $A = [T]_\beta^\gamma$가 가역이면 어떤 $n \times n$ 행렬 $B$가 존재해 $AB = BA = I_n$을 만족한다.

$W$의 순서기저 $\gamma = \{v_1, ..., v_n\}$와 $V$의 순서기저 $\beta = \{w_1, ..., w_n\}$에 대해 $U(v_j) = \sum_{i=1}^n B_{ij}w_i$를 만족하는 선형변환 $U:W \rightarrow V$가 존재한다.

따라서 $[U]_\gamma^\beta = B$이므로, $[T]_\beta^\gamma[U]_\gamma^\beta = [U]_\gamma^\beta[T]_\beta^\gamma = I_n$이다. 역함수의 정의에 따라 $U = T^{-1}$이다.