행렬 곱과 선형변환의 관계성

행렬 곱의 성질

$A$가 $m \times n$, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬일 때, 다음이 성립한다. $\\$
1. $A(B+C) = AB+AC$
2. $a(AB) = (aA)B = A(aB)$
3. $I_mA = A = AI_n$

증명)

1. $(B + C)_{ij} = B_{ij}+C_{ij} \Rightarrow \{A(B+C)\}_{ij} = \sum_{i=1}^n A_{ik}(B+C)_{kj} = \sum_{i=1}^n (A_{ik}B_{kj} + A_{ik}C_{kj}) = (AB+AC)_{ij}$

2. $\{a(AB)\}_{ij} = a(AB)_{ij} = a\sum_{i=1}^n A_{ik}B_{kj} = \sum_{i=1}^n (aA_{ik})B_{kj} = \sum_{i=1}^n A_{ik}(aB_{kj})$

3. $(I_mA)_{ij} = \sum_{i=1}^m I_{ik}A_{kj} = I_{ii}A_{ij} = A_{ij}\\ (AI_n)_{ij} = \sum_{i=1}^n A_{ik}I_{kj} = A_{ij}I_{jj} = A_{ij}$

행렬-벡터 곱 : 선형변환의 관점

$V, W$는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 $\beta, \gamma$이다. 선형변환 $T: V \rightarrow W$와 $u \in V$에 대해 다음이 성립한다. $\\$

$[T(u)]_\gamma = [T]_{\beta}^\gamma[u]_\beta$

증명)
$V$의 기저 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$, $W$의 기저 $\gamma = \{w_1, ..., w_m\}$이 있다고 하자.

$u \in V$에 대해 $u = a_1v_1 + ... + a_nv_n$인 $(a_1, ..., a_n) \in F^n$이 유일하게 존재한다.
따라서 $T(u) = a_1T(v_1) + ... + a_nT(v_n)$이다.

$T(v_1), ..., T(v_n) \in W$이므로 각 기저의 변환된 결과를 $\gamma$의 유일한 일차결합으로 나타낼 수 있다.

이로부터 $T(u) = a_1T(v_1) + ... + a_nT(v_n)$을 $\gamma$의 좌표벡터로 나타내면 다음과 같다.

그리고 중간의 결과로부터 $[T]_\beta^\gamma$와 $[u]_\beta$를 얻을 수 있다.

따라서 $[T(u)]_\gamma = [T]_{\beta}^\gamma[u]_\beta$이 성립한다.

즉 $u \in V$를 선형변환 $T$를 통해 $T(u)$를 구한 후 $T(u)$의 좌표벡터를 구하는 것은,
$\beta$와 $\gamma$에 대한 행렬표현과 $u$의 $\beta$에 대한 좌표벡터를 곱한 것과 동일하다.

이처럼 선형변환과 행렬 곱은 서로 동일한 측면을 가진다.

좌측 곱 변환

$A$는 $m \times n$ 행렬이고, 성분은 $F$의 원소다. 이 때 좌측 곱 변환 $L_A$를 다음과 같이 정의한다.

$L_A: F^n \rightarrow F^m, L_A(x) = Ax$

좌측 곱 변환의 성질

임의의 $m \times n$ 행렬 $B$와 $F^n$의 표준 순서기저 $\beta$, $F^m$의 표준 순서기저 $\gamma$에 대해 다음이 성립한다.

1. $[L_A]_\beta^\gamma = A$
2. $L_A = L_B \equiv A = B$
3. $L_{A+B} = L_A+L_B, \ L_{aA}=aL_A$
4. $T:F^n \rightarrow F^m$이 선형이면 $T = L_C$가 되도록하는 $m \times n$ 행렬 $C$가 유일하게 존재한다.
5. $E$가 $n \times p$ 행렬이면 $L_{AE} = L_AL_E$이다.
6. $m=n$이면 $L_{I-n} = I_{F^n}$이다.

증명)

1. $L_A(e_j) = Ae_j$는 $[L_A]_\beta^\gamma$의 $j$열과 동일하다.

2. $(\Rightarrow)$ $L_A = L_B \Rightarrow \forall e_j \in F^n, L_A(e_j) = L_B(e_j) \Rightarrow AI_n = BI_n \Rightarrow A = B \\ (\Leftarrow)\ A = B \Rightarrow \forall e_j \in F^n, \ Ae_j = Be_j \Rightarrow L_A = L_B$

3. $(A+B)(e_j) = Ae_j+Be_j \Rightarrow L_A(e_j) + L_B(e_j) \Rightarrow L_{A+B} = L_A+L_B \\ {} \\ (aA)(e_j) = aA(e_j) \Rightarrow L_{aA} = aL_A$

4. $L_C$의 존재성 : $C = [T]_\beta^\gamma$일 때, $[T(x)]_\gamma = [T]_\beta^\gamma [x]_\beta= C[x]_\beta \Rightarrow T(x) = Cx \Rightarrow T = L_C$
   $L_C$의 유일성 : $T = L_{C_1}, T = L_{C_2}$이면 (2)에 의해 $L_{C_1} = L_{C_2} \Rightarrow C_1 = C_2$

5. $AE(e_{j}) = A(E(e_{j})) \Rightarrow L_{AE} = L_AL_E$

6. $L_{I_n}(e_j) = I_ne_j = e_j, \ I_{F_n}(e_j) = e_j \Rightarrow m = n$이면 $L_{I_n} = I_{F_n}$