선형변환의 합성과 행렬 곱

선형변환의 합성

$F$-벡터공간 $V, W, Z$와 선형변환 $T: V \rightarrow W, U: W \rightarrow Z$가 있을 때, 두 선형변환의 합성 $UT : V \rightarrow Z$는 선형변환이다.

증명)
$x, y \in V$, $c \in F$에 대해

따라서 $UT$는 선형변환이다.

선형변환의 합성의 성질

벡터공간 $V$와 선형변환 $T, U_1, V_2 : V \rightarrow V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $TU_1 + U_2 = TU_1+TU_2$
2. $(U_1+U_2)T = U_1T+U_2T$
3. $T(U_1U_2) = (TU_1)U_2$
4. $TI = IT = T$
5. 모든 스칼라 $a \in F$에 대해, $a(U_1U_2) = (aU_1)U_2 = U_1(aU_2)$

동일한 선형변환의 합성

$T : V \rightarrow V$일 때, $T^0 = I_v, T^n = T^{n-1}T \ (n \in N)$으로 정의한다.

행렬 곱의 정의

유한차원 벡터공간 $V, W, Z$와 선형변환 $T:V \rightarrow W, U: W \rightarrow Z$가 있다고 하자.
$V$의 순서 기저 $\alpha = \{v_1, ..., v_n\}$, $W$의 순서 기저 $\beta = \{w_1, ..., w_m\}$, $Z$의 순서 기저 $\gamma = \{z_1, ..., z_p\}$가 있을 때,

$A = [U]^\gamma_\beta, B = [T]_\alpha^\beta$이면 $AB = [U]_\beta^\gamma[T]_\alpha^\beta= [UT]_\alpha^\gamma$가 되도록 행렬의 곱을 정의한다.

$(A)_{ij} = a_{ij}, (B)_{ij} = b_{ij}$일 때, 행렬곱 계산과정은 다음과 같이 정의한다.