선형변환의 행렬표현

벡터공간의 순서기저

유한차원 벡터공간의 기저에 특정한 순서가 부여되면, 이를 순서 기저라고 한다.

예를 들어 $dim(V) = 3$인 벡터공간 $V$의 기저 $\alpha = \{v_1, v_2, v_3\}, \beta = \{v_2, v_1, v_3\}$이 있을 때, 둘은 기저의 벡터의 순서가 다르므로 서로 구별되는 순서 기저다.

좌표 벡터

유한차원 벡터공간 $V$의 순서 기저 $\alpha = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$이 있다고 하자.
모든 $x \in V$를 위 순서 기저의 일차결합으로 나타내면

의 유일한 일차 결합으로 나타낼 수 있다.
이 때 $(a_1, a_2, ..., a_n) \in F^n$을 $\alpha$에 대한 $x$의 좌표벡터라고 하고, $[x]_\alpha = (a_1, ..., a_n)$으로 표기한다.

따라서 좌표 벡터를 만드는 과정은 $V$를 정의역, $F^n$을 공역으로 하는 함수라고 볼 수 있다.
그리고 이 함수는 선형성을 만족하므로 선형 사상이다.

증명)
유한차원 벡터공간 $V$와 순서 기저 $\alpha = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$이 있을 때, 임의의 $x, y \in V$, $c \in F$에 대해 다음을 만족한다.

$x= x_1v_1 + ... + x_nv_n$, $y = y_1v_1 +... + y_nv_n$이라고 하자.

1. $[x+y]_\alpha = (x_1+y_1, ..., x_n+y_n) = (x_1, ..., x_n) + (y_1, ..., y_n) = [x]_\alpha + [y]_\alpha$
2. $[cx]_\alpha = (cx_1, ..., cx_n) = c(x_1, ..., x_n) = c[x]_\alpha$

따라서 대응 $x \rightarrow [x]_\alpha$는 선형성을 만족하는 선형 변환이다.

표준 순서 기저

$R^n$의 경우 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$, $P_n(F)$의 경우 $\{1, x, ..., x^n\}$을 표준 순서 기저로 가진다.

선형변환의 행렬표현

선형변환은 결국 기저의 일차결합의 변환이므로 기저가 어떻게 변환되는지만 알면 일차결합의 변환을 얻는 것은 간단하다.

선형변환 과정에서 기저가 어떻게 변환되는가를 행렬로 나타낸 것을 선형변환의 행렬표현이라고 한다.

유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}, \gamma = \{w_1, ..., w_m\}$, 선형변환 $T:V \rightarrow W$가 있다고 하자.

$T(v_j)$는 $W$의 원소이므로 $\gamma$의 일차결합으로 유일하게 표현 가능하다.

이 때 각 $v_j$를 열에 대응하고, $a_{i*}$ 계수를 행에 대응하는 행렬을 생각할 수 있다.

정리하면 $T$의 행렬표현은 $V$의 순서 기저의 함수값이 $W$의 순서기저로 어떻게 표현되는지를 나타낸다. 각 열은 $V$의 각 순서 기저를 의미하며, 각 행은 일차결합의 계수를 의미한다.

선형변환의 연산과 벡터공간

다른 일반적인 함수들과 비슷하게 선형변환도 함수 간의 합과 스칼라 곱을 정의할 수 있다.

$F$-벡터공간 $V, W$에서 정의되는 임의의 함수 $T, U : V \rightarrow W$와 $c \in F$에 대해, 두 함수의 합 $T+U : V \rightarrow W$와 $aT : V \rightarrow W$를 다음과 같이 정의한다.

1. 모든 $x \in V$에 대해 $(T+U)(x) = T(x) + U(x)$
2. 모든 $x \in V$에 대해 $(cT)(x) = cT(x)$

선형변환의 합와 스칼라 곱의 성질

$F$-벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T, U : V \rightarrow W$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $c \in F$에 대해 $cT+U$는 선형이다.
2. $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 집합은 $F$-벡터공간이다.

$V \rightarrow W$를 만족하는 선형변환의 벡터공간에서 영변환은 영벡터의 역할을 한다. 모든 $V$의 벡터를 $0_W$로 대응하기 때문이다.

선형변환의 순서기저의 선형성

유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta = \{b_1, ..., v_n\}$, $\gamma = \{w_1, ..., w_m\}$, 선형변환 $T, U: V \rightarrow W$에 대해 다음이 성립한다.

1. $[T+U]_\beta^\gamma = [T]_\beta^\gamma + [U]_\beta^\gamma$
2. 모든 $c \in F$에 대해 $[cT]_\beta^\gamma = c[T]_\beta^\gamma$

예시)
선형변환 $T, U : R^2 \rightarrow R^3$가 $T(a_1, a_2) = (a_1+3a_2, 0, 2a_1-4a_2)$,
$U(a_1, a_2) = (a_1 -a_2, 2a_1, 3a_1+2a_2)$로 주어졌다고 하자.

이므로 $[T+U]_\beta^\gamma$는 다음과 같다.