순서통계량 : 분위수(Quantile)

분위수

확률 변수 $X$가 CDF $F(X)$를 가진다고 하자. 이 때 p-백분위수(0 < p < 1)는 $F(\epsilon_p) = p$를 만족하는 $\epsilon_p$로 정의한다.

즉 p-분위수는 누적된 데이터의 밀도를 나타내는 통계량이다. 예를 들어 $\epsilon_p$ = 0.5-백분위수는 누적 확률이 0.5인 지점의 확률 변수 값을 의미한다. 이는 중위수와 동일한 의미다.

분위수의 추정

$X_1, X_2, ..., X_n$이 $X$의 랜덤 표본이고, $Y_1, Y_2, ..., Y_n \ ( a< Y_1 < ...< Y_n < b)$은 랜덤 표본의 순서 통계량이라고 하자. 이 때 p-백분위수 $\epsilon_p$의 추정량은 다음과 같이 도출된다.

따라서 p-백분위 수의 추정량을 찾으려면 다음 과정을 거친다.
1. 표본을 추출한다.
2. 표본을 오름차순으로 정렬한다. (순서통계량)
3. k = [p(n+1)]를 만족하는 k를 구한다.
4. $Y_k$를 p-백분위수의 추정량으로 한다.

분위수의 신뢰 구간

순서통계량 $Y_1, Y_2, ..., Y_n$에서, $Y_i < \epsilon_p < Y_j$인 사건을 생각해보자.
이 사건이 발생한다는 것은 $Y_1, ... Y_i < \epsilon_p$를 만족해야 하고, $\epsilon_p < Y_j, Y_{j+1}, ... Y_n$을 만족해야 한다.

$P(X < \epsilon_p) = p$인 것을 생각하면, $Y_i < \epsilon_p$인 사건의 발생 횟수는 성공 확률이 $p$고 시행 횟수가 $n$인 이항 분포를 따르는 확률 변수로 생각할 수 있다.

따라서 위 사건이 발생할 확률을 다음과 같이 정의한다.