역행렬의 계산

가역행렬의 역행렬 계산

$n \times n$ 가역행렬 $A$와 항등행렬 $I_n$이 있다고 하자. 이 때 $A$의 열과 $I_n$의 열을 가로로 붙여 $\left[A | I_n \right]$의 첨가행렬을 만들 수 있다.

이 때 $A^{-1}\left[A | I_n \right] = \left[A^{-1}A | A^{-1}I_n\right] = [I_n|A^{-1}]$이다.
그런데 모든 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있으므로, $A^{-1} = E_kE_{k-1}...E_1$이라고 하면 다음을 만족한다.

즉 $A$를 $I_n$으로 변환하는 기본행연산에 대응하는 기본행렬들의 곱이 곧 $A$의 역행렬이 된다.
따라서 $\left[A|I_n\right]$으로 놓고 좌측의 $A$를 $I_n$으로 변환하는 기본행연산을 양 쪽에 진행하면 결과적으로 $\left[I_n|A^{-1}\right]$이 되므로 우측에서 $A$의 역행렬을 구할 수 있다.

행렬의 가역성 판단

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $\left[A|I_n\right]$에 기본행연산을 유한번 적용해서 $\left[I_n|B\right]$의 꼴로 바꿔보자. 이 때 $B$는 $n \times n$ 행렬이다.

I) $A$가 가역행렬인 경우
$B = E_kE_{k-1}...E_1$을 $A$를 $I_n$으로 바꾸는 행연산에 대응하는 기본행렬들의 곱이라고 하면, $B\left[A|I_n\right] = \left[BA|BI_n\right] = \left[I_n|B\right]$가 된다.

따라서 위에서 역행렬을 구했던 방법과 동일하므로 $A^{-1} = B$이 존재한다.

II) A가 가역행렬이 아닌 경우
$A$가 가역행렬이 아닌 경우 $rank(A) < n$이다. 이 경우 $\left[A|I_n\right]$을 $\left[I_n|B\right]$의 꼴로 유한번의 기본행연산을 이용해 바꾸는 것이 불가능하다. 대신 $A$를 $I_n$으로 바꾸는 과정에서 성분이 모두 영으로만 이루어진 행이 발생한다.

증명)
귀류법을 이용해서 증명한다. $A$가 가역행렬이 아니고, $\left[A|I_n\right]$을 $[I_n|B]$의 꼴로 유한번의 기본행연산을 이용해 바꿀 수 있다고 가정하자.

$A$는 유한번의 기본행연산을 통해 $I_n$으로 변환된다. $rank(A) < n$이고, $rank(I_n) =n$인데, 기본행연산은 랭크를 보존하므로 $rank(I_n) < n$이라는 모순이 발생한다.

따라서 $A$가 가역행렬이 아닌 경우 $\left[A|I_n\right]$을 $\left[I_n|B\right]$의 꼴로 유한번의 기본행연산을 이용해 바꾸는 것이 불가능하다.