카이제곱 검정 : 카이제곱 분포의 근사, 적합도 검정

STATS·2023년 7월 12일

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카이제곱 분포의 근사

$(X_1, X_2, ..., X_{k-1}) \sim multinomial(n, p_1, ..., p_{k-1})$ 일 때,
표본의 크기가 충분히 크다면 다음 확률 변수는 카이제곱 분포를 근사적으로 따른다.

Q_{k-1} = \sum_{i=1}^k \frac{(X_i - np_i)^2}{np_i} \rightarrow \chi^2(k-1)

다항분포의 확률 변수들은 "각 카테고리에 시행 결과가 속하는 횟수"가 정의이기 때문에, 이를 이용해 사건 발생의 빈도, 확률 분포의 동질성 등을 검정한다.

위와 동일하게 $(X_1, X_2, ..., X_{k-1}) \sim multinomial(n, p_1, ..., p_{k-1})$ 이고, 다음과 같이 가설을 설정하자.

H_0 : p_1 = p_{1_0}, p_2 = p_{2_0}, ..., p_{k-1} = p_{k-1_0}

H_1 : not \ H_0

따라서 귀무 가설은 "각 사건의 발생 확률이 어떤 분포와 동일하다라는 것은 주장하고, 대립 가설은 $p_1, p_2, ..., p_{k-1}$ 중 하나라도 사전에 알고 있던 분포와 다르다는 것을 주장한다.

검정에 사용하는 검정통계량은 $Q_{k-1}$ 을 사용한다.

Q_{k-1} = \sum_{i=1}^k \frac{(X_i - np_{i_0})^2}{np_{i_0}} \rightarrow \chi^2(k-1)

만약 귀무 가설이 옳다면, 실제 뽑히는 $x_i$ 들의 값은 $E(X_i) = np_{i_0}$ 와 비슷할 것이므로 $Q_{k-1}$ 은 작은 수치가 나올 것이다.

반대로 $Q_{k-1}$ 이 큰 수치가 나온다는 것은 실제 표본 값과 귀무 가설에서 주장하는 분포 사이의 괴리가 크다는 것을 의미한다. 따라서 이 경우에는 귀무 가설을 기각한다.

따라서 기각역을 다음과 같이 설정한다. ( $Q_{k-1} \ge 0$ 이기 때문에 기각역은 항상 우측에 있다)

C = \{Q_{k-1} \lvert Q_{k-1} \ge c \}