Kolmogrov에 의해 turbulent flow의 original 분석을 시작하는데 결국 굴절률 분산의 통계적 모델을 이끈다.
pertrubation 이론은 observation 평면 optical field의 유용한 통계 특성을 얻기 위해 Maxwell 방정식을 풀기 위한 모델로 사용한다.

variances, correlations, spectral 밀도의 트성 log-amplitude, phase, irradiance는 시뮬레이션에서 2가지 주 목적으로 사용된다.
1. split-step beam 전파를 위한 interaction factor의 random draws를 생산하는데 사용된다.
turbulent medium을 통과하는 simulating propagation 후, observation 평면 field는 통계적 모델을 결정하고 이전 이론과 비교한다. 이것은 simulation이 정확한 결과를 생산하는데 확인을 제공한다.

1. Kolmogorov theory of turbulence

공간적, 시간적으로 공기 굴절률을 대체하는 온도와 convective 공기 흐름에 의한 random variation이 지구 대기에서 Turbulence를 발생시킨다.

대기를 통해 optical wave가 전파함으로써, wave는 굴절률 변동에 의해 왜곡된다. 이 빛의 왜곡은 천체의 상을 저하시키기 때문에 몇 세기동안 천문학자를 괴롭혔다. 이 왜곡을 극복하기 위해, 그들은 turbulence의 정확한 물리적 모델과 optical-wave 전파에 대한 효과가 필요하다.
turbulence가 긴 대기 path를 통해 빛의 전파에 의존하는 모든 광학 시스템에 영향을 주기 때문에 laser 통신, 무기에서 과학물리학자나 통신 엔지니어에게 최근 대두되는 문제이다.

최근 100년에 걸쳐, optical porpgation에서 turbulence의 효과를 모델링하는 것은 많은 주목을 받고 있다. 다양한 이론과 실험적 그것의 확증에 써진다. 통계적 모델링은 몇가지 유용한 이론을 가진다. 이 이론에서, 모든 위치와 모든 시간에서의 굴절률을 정확히 설명하는 것은 불가능하기 때문에 통계적 분석에 의존하는 것이 필요하다.

closed-form 해를 설명하기 위한 너무 많은 랜덤 behavior와 변수가 있다. 가장 널리 수용되고 있는 turbulence flow의 이론은 observation과의 일관된 일치로 인해, 처음으로 A.M.Kolmogorov.에 의해 제안되었다.

그 후, Obukhov와 Corrsin은 각각 독립적으로 Kolmogorov 모델에 온도 변동을 적용했다.
turbulent한 온도 변동의 이론은 직접적으로 굴절률 변동에 관계있다.
이 model은 모든 turbulence의 동시대 이론의 기본이다.

햇빛과 diurnal cycle에 의한 Differential한 지구의 heating과 cooling은 기온의 거시 변동을 일으킨다.
이 과정은 결과적으로 바람을 만든다. 공기의 이동으로, 그것은 laminar flow로부터 turbulent flow까지 변화한다. laminar flow에서 속력 특징은 일정하거나 최고 일정한 fashion 변화이다. turbulent flow에서 다른 공기 혼합은 velocity field는 더 이상 일정하지 않고, 공기의 랜덤적으로 분포한 pocket을 획득한다. turbulent eddies라고 하는.
이 eddies는 특징적 크기와 온도를 다르게 한다. 공기 밀도 그로 인한 굴절률은 온도에 의존하고 대기는 random한 굴절률 profile을 가진다.

Turbulent flow는 Navier-Stokes 방정식에 의해 좌우되는 비선형적 과정이다. 왜냐하면 완전한 turbulence의 Navier-Stokes 방정식을 풀기 위해서 많은 어려움이 있는데, Kolmogorov는 통계 이론을 개발했다.
그는 turbulent한 flow에서 큰 eddies에서 운동에너지는 작은 eddies로 전달되는 것을 제안했다.

• $L_0$, outer scale, 가장 큰 eddies의 평균 크기
  - 지면 근처에서, $L_0$가 지면 위의 높이 정도 이지만, 지면에서 멀리 떨어진 고도에서는 수십~수백 m 정도일 수 있다.
• $l_0$, inner scale, 가장 작은 eddies의 평균 크기
  - 매우 작은 scales에서는, inner scale보다 더 작다면, 마찰에 의한 energy 소멸은 스스로 유지하는 것으로부터 turbulence를 막는다. inner scale $l_0$는 지면 위 몇 cm 가까이에서 거의 몇 mm이다.
  

inner scale과 outer scale의 eddy 크기의 범위를 inertial subrange(관성 아역 범위)라고 한다. 이는 난류 에너지 스펙트럼의 특정 부분을 가리키며, 이 영역에서 난류 에너지가 큰 eddies에서 작은 eddies로 전달되는 과정을 설명한다.

Kolmogorov 분석에서 inertial subrange 안에서 eddies가 통계적으로 homogeneous(균질)하고 공간의 작은 영역 내에서 등방적이라고 가정한다. 속도와 굴절률과 같은 특성은 고정된 증가분을 가진다. 이것은 더 common covariance(다변량 데이터에서 여러 변수 쌍이 공통적으로 가지는 공분산 의미)보다 structure 함수를 사용한 이유이다. 이것은 turbulent eddies의 평균 속력 $v$를 결정하는 공간적 분석을 사용하게 끔 하는데 $v$는 eddies의 scale size에 관계있다.

$v \propto r^{1/3}$
speed의 structure 함수는 속력의 제곱이기 때문에, structure function $D_v(r)$은 반드시 아래와 같은 형태이다.
$D_v(r)=C_{v}^2\ r^{2/3}$

• $C_v$: velocity structure 매개변수

laminar flow(유체가 층을 이루며 매끄럽게 흐르는 유동)에서, laminar flow는 매우 작은 규모에서 발생하기 때문에 물리적 의존성이 약간 다르다. 따라서 velocity structure function은 다음 형태를 따른다.
$D_v(r)=C_v^2\ l_0^{-4/3}r^2$

가장 큰 scale의 turbulence에서 flow는 매우 이방성(고르지 못한)이다. velocifty field가 homogeneous하고 등방적이면, structure function은 velocity 분산의 2배에 점진적으로 근접할 것이다

Homogeneous: 공간적으로 일정한 특성을 가지고 있는 것을 의미. 즉, 시스템이 어떤 위치나 방향에 따라서도 변하지 않고 일관된 특성을 유지.
ex) 시공간상의 모든 점에서 동일한 온도를 가진 열역학적인 시스템은 균일
Isotropic: 모든 방향으로 동일한 특성을 가진 것을 의미. 즉, 시스템의 특성이 방향에 상관없이 일정.
ex) 모든 방향으로 동일한 속도를 가진 유체 흐름은 등방성입니다.
homogenous는 공간적 일관성을 나타내고, isotropic은 방향적 일관성을 나타낸다.
이 velocity framework는 potential 온도 $\theta$의 비슷한 분석을 이끌고(potential 온도는 oridinary 온도 $T$에 선형적으로 관련있다).

이 velocity framework는 potential 온도($\theta$)의 유사한 분석으로 이어졌다(potentail 온도는 상온 $T$에 선형적으로 관련있다.
결과는 $\theta \propto r^{\frac{1}{3}}$이고 그 결과 potential 온도 structure 함수 $D_{\theta}(r)$은 velocity structure function과 같은 종속성을 따른다.
$D_\theta(r)= \begin{cases} C^2_\theta\ l_0^{-4/3}\ r^2, & 0\le r \ll l_0 \\ C^2_\theta\ r^{2/3}, & l_0\ll r \ll L_0 \end{cases}$

• $C_\theta^2: \theta$에 대한 structure 매개변수

몇가지 더 고려할점이 굴절률 통계 model를 만든다. 공간 $\mathbf{r}$ 점에서 굴절률은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$n(\mathbf{r})=\mu_n(\mathbf{r})+n_1(\mathbf{r})$
$\mu_n(\mathbf{r}) \approx 1$는 굴절률의 천천히 변화하는 평균값이며, $n_1(\mathbf{r})$은 평균값으로부터의 굴절률 편차이다.
굴절률을 쓰는 것은 zero-mean random process $n_1(\mathbf{r})$ 따르는 통계분석을 위해 더욱 쉽게 작동하는
optical 파장에서, 공기의 굴절률은 아래와 같이 근사할 수 있다.
$n(\mathbf{r})=1+77.6\times10^{-6}(1+7.52\times10^{-3}\lambda^{-2})\cfrac{P(\mathbf{r})}{T(\mathbf{r})}$
$\approx1+7.99\times10^{-5}\cfrac{P(\mathbf{r})}{T(\mathbf{r})},\ \lambda=0.5\mu m$

• $\lambda(\mu m)$: optical wavelength
• $P(milibar)$: 압력
• $T(K)$: 상온

이 모델에서, 각 eddy는 일정한 압력을 가진다고 간주한다. 또한 potential 온도 $\theta$가 상온 $T$와 선형적으로 관련있는 것을 상기하면 굴절률에 대한 분산은
$dn=7.99\times10^{-5}\cfrac{d\theta}{T^2}$

굴절률 분산은 potential 온도에서 분산과 직접적으로 비례하기 때문에, 굴절률 structure 함수 $D_n(r)$은 $D_\theta(r)$과 동일한 power law(멱법칙, 한수가 다른 수의 거듭제곱)를 갖는다.

$D_n(r)= \begin{cases} C^2_n\ l_0^{-4/3}\ r^2, & 0\le r \ll l_0 \\ C^2_n\ r^{2/3}, & l_0\ll r \ll L_0 \end{cases}$

• $C_n^2(m^{-2/3}):$ 굴절률 structure 매개변수

온도 structure 상수와 관계되며
$C_n^2=[77.6\times10^{-6}(1+7.52\times10^{-3}\lambda^{-2})\cfrac{P} {T^2}]^2\ C_T^2$

$C_n^2$의 일반적인 값 범위는 $10^{-17}\sim10^{-13}m^{-2/3}$. 더 높은 고도에서는 작은 값을 지면에서는 더 큰 값

굴절률 편차의 spectral 설명이 종종 필요하다.
power spectral density($\Phi_n(\kappa)$)는 쉽게 $D_n(r)$ 식을 통해서 계산할 수 있고 역도 가능하다.
예를 들어 Kolmogorov 굴절률 power spectral density는 국소적으로 균일하고 등방성인 random field인 경우,

$\Phi_n^{K}(\kappa)=\cfrac{1}{4\pi^2\kappa^2}\int\limits_0^{\infty}\cfrac{sin(\kappa r)}{\kappa r}\cfrac{d}{dr}[r^2\cfrac{d}{dr}D_n(r)]\ dr$
$\Phi_n^K(\kappa)=0.033C^2_n\ \kappa^{-11/3}, \cfrac{1}{L_0}\ll \kappa \ll \cfrac{1}{l_0}$

• $\kappa=2\pi(f_x\hat{\mathbf{i}}+f_y\hat{\mathbf{j}})$, angular 공간 주파수($rad/m$)

굴절 power spectral density의 다른 모델은

• Tatarskii
• von Karman
• modified von Karman
• Hill specturm
  이론과 실험측정 사이 일치를 향상시키는 더 정교하고 다양한 inner-scale과 outer-scale 인자를 포함한 모델들이 있다.

아래 그림은 이 power spectra를 보여준다.

간단한 실용적인 모델 2개인

von Karman PSD

$\Phi_n^{vK}(\kappa)=\cfrac{0.033C^2_n}{(\kappa^2+\kappa_0^2)^{11/6}}, 0\le \kappa \ll \cfrac{1}{l_0}$

modified von Karman PSD

$\Phi_n^{mvK}(\kappa)=0.033\ C^2_n\cfrac{\exp(-\kappa^2/\kappa^2_m)}{(\kappa^2+\kappa_0^2)^{11/6}}, 0\le \kappa \ll \cfrac{1}{l_0}$

• $\kappa_m=5.92/l_0$, small-scale(high-frequency)
• $\kappa_0=2\pi/L_0$, large-scale(low-frequency)
  inner과 outer scale의 효과를 동시에 포함하는 가장 간단한 PSD 모델이다.
  $l_0=0$과 $L_0=\infty$를 사용할 때, small scale을 최대로 줄이고, large scale을 최대화하면, $\kappa_m \rightarrow \infty$, $\kappa_0 \rightarrow 0$되서 Komogorov 굴절률 power spectral denisty하고 같아진다.

대기를 통한 전자기파 전파를 다룰 때는, 굴절률은 짧은 시간 스케일($100\mu s$)에서 시간에 독립적이라고 간주할 수 있다. 광속이 매우 빠르기 때문에 심지어 아주 큰 turbulence eddy를 통과하는 빛이 변화되는데 걸리는 시간은 아주 짧다. 이는 turbulence의 특성이 변하는 시간보다 훨씬 짧다.
결과적으로 시간적 특성은 Taylor frozen-trubuelnce 가설을 통해 turbulence model이 세워진다. 이 가설은 한 공간의 특정 지점에서 기상 요소들의 시간적 변화가 그 기상 요소들 자체의 변화가 아니라, 평균 속도의 바람 흐름에 의해 그 기상요소들이 이류(advection)되기 때문에 발생한다.

advection(이류)
유체(기체나 액체)의 흐름에 의해 물질이나 열이 수평적으로 이동하는 현상. 기상학에서 이류는 주로 바람에 의해 기온, 습도, 기압 등의 기상 요소가 이동하는 과정. Ex, 따뜻한 공기가 바람에 의해 다른 지역으로 이동하면 그 지역의 기온이 상승할 수 있다. advection은 한 지역의 기상 상태를 변화시키는 중요한 기상 현상

따라서 turbulent eddies는 평균 바람 속도 $\mathbf{v}$에 의해 광학 축을 가로질러 이동하면서 공간에 고정된 것으로 간주된다. 따라서 평균 바람 속도에 대한 지식을 바탕으로 공간적 통계가 시간적 통계로 변환할 수 있다. 예를 들어 optical phase $\phi(x,y)$의 시간 의존성은 아래와 같다.
$\phi(x,y,t)=\phi(x-v_xt, y-v_yt,0)$

• $v_x, v_y$: 직교좌표계에서 평균 풍속
• $t$: time

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2. Optical propagation through turbulence

electromagnetic 현상은 진공과 대기 turbulence 조건에서 Maxwell 방정식을 따른다. 대기는 source-free(외부 소스나 외부 힘이 작용하지 않는), 비자성, 등방석 매질로 간주하다. optical-wave 전파에서, 시간에 의존하는 조화 전파의 해를 $e^{-i2\pi\nu t}, \nu=\cfrac{c}{\lambda}$를 찾을 수 있다.

그리고 전기장에 대한 파동방정식은 아래와 같이
$\nabla^2\mathbf{E}(\mathbf{r})+k^2n^2(\mathbf{r})\ \mathbf{E}(\mathbf{r})+2\nabla[\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\nabla \ln n(\mathbf{r})]=0$

• $\mathbf{E}:$ 전기장 vector
• $k:$진공에서 wavenumber(파수)

위 식 마지막 항은 파동 전파시 polarization(편광) 변화이다. $\lambda < l_0$(작은 소용돌이, inner scale) 마지막 항이 무시될 수 있으면, 결과적으로 파동 방정식은 아래와 같이 단순화 된다.

$[\nabla^2+k^2n^2(\mathbf{r})]\ \mathbf{E}(\mathbf{r})=0$

magnetic induction $B$(자기 유도는 시간에 따라 변하는 자기장이 전기 회로 내에서 전류를 유도하는 현상)는 이 방정식을 따른다.. 그래서 우리는 어떤 6개 field 성분(3개 선형, 3개 회전 성분)에 대해 한 방정식으로 쓸 수 있다. 아는 Helmholtz 방정식과 거의 동일하다.

$[\nabla^2+k^2n^2(\mathbf{r})]\ U(\mathbf{r})=0$

굴절률이 명시적으로 위치 의존적인것을 제외하면
따라서 위 식을 풀기 위해서 약한 fluctuation에 대한 가정을 하면

• $n(\mathbf{r})=\mu_n(\mathbf{r})+n_1(\mathbf{r})$
• $|n_1(\mathbf{r})|≪1$
• $n^2(\mathbf{r}) ≅ 1+2n_1(\mathbf{r})$

매질이 일정한 굴절률을 가질 때, Green 함수의 사용을 포함하는 Fourier optics 방법으로
$[\nabla^2+k^2n^2(\mathbf{r})]\ U(\mathbf{r})=0$
$\{\nabla^2+k^2[ 1+2n_1(\mathbf{r})]\}\ U(\mathbf{r})=0$
하지만, 대기와 같이 매질이 랜덤적으로 비균일하면, perturbative 방법(문제에 대한 해를 구하기 위해 작은 변화나 교란에 대한 근사치를 사용하는 방법)은 근사해를 얻기 위해 Green 함수를 사용된다.

Rytov 방법에서, optical field는 $U(\mathbf{r})=U_0(\mathbf{r})\exp[\psi(\mathbf{r})]$

• $U_0(\mathbf{r}):$ 진공 해($n_1=0$)
• $\psi(\mathbf{r}):$ 작은 변화(perturbation, 복소 위상을 가짐)
  - $\psi(\mathbf{r})=\psi_1(\mathbf{r})+\psi_2(\mathbf{r})+...$ 연속적인 perturbation 적용한 경우
  

연속적인 perturbation은 $\psi$의 확률분포의 여러 통계량을 계산하는데 사용되며, 이는 차례로 field의 확률분포의 여러 통계량을 산출한다. 게다가, amplitude와 phase 양을 분리하기 위해 아래와 같이 작성하는 것이 유용하다.

$\ln(Ae^{i\phi})=\ln A+i\phi$
$\psi=\chi+i\phi$

• $\chi:$ log-amplitude perturbation
• $\phi:$ phase perturbation

Rytov 방법은 Gaussian beam, 구면파, 평면파와 같이 간단한 source field의 통계량을 분석적으로 계산하기 위해 주어진 Power Spectral Density 모델을 사용할 수 있다.
Rytov 방법에 대한 자세한 세부사항은

• Clifford
• Ishimaru
• Andrews and Phillips
• Sasiela

3. Optical parameters of the atmosphere

수식 유도의 세부사항은 여기서 생략했지만, rytov 이론에서 계산할 수 있는 유용한 field 통계량이 포함된다.

• optical field의 평균값
  $\langle U(\mathbf{r}) \rangle=\langle U_0(\mathbf{r}) \exp\pi(\mathbf{r}) \rangle$
• mutual coherence function
  $\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{r}', z)=\langle U(\mathbf{r})\ U^*(\mathbf{r'}) \rangle$
  = $U_0(\mathbf{r})\ U^*_0(\mathbf{r}')\langle \exp [\psi(\mathbf{r})\psi^*(\mathbf{r'})] \rangle$

  mutual coherence function(상호 일관성 함수)
  2개의 신호가 서로 얼마나 유사한지 측정. 2개의 신호 $x(t), y(t)$가 주어졌을 때, 그들 간 상호 일관성 함수 $R_{xy}(\tau)$는 다음과 같이 정의.
  $R_{xy}(\tau)=E[x(t)y^*(t-\tau)]$
  이는 시간 지연 $\tau$에 따라 두 신호 간 상관관계이며, 얼마나 유사한지 측정

mutual coherence function를 통해 계산할 수 있는 유용한 특성은

1. the modulus of the complex coherence factor (이하, coherence factor)
   $\mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)=\cfrac{|\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)|}{|\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{r},z)\ \Gamma(\mathbf{r}', \mathbf{r}',z)|^{1/2}}$

2. wave structure function
   $D(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)=\ln\cfrac{1}{\mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}', z)^2}$
   $=-2\ln\ \mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}', z)$
   $=D_{\chi}(\mathbf{r}, \mathbf{r}', z)+D_\phi(\mathbf{r}, \mathbf{r'}, z)$
   - $D_\chi:$ log-amplitude structure 함수
   - $D_\phi:$ phase structure 함수

3. phase power spectral density
   $\Phi_\phi(\kappa)=\cfrac{1}{4\pi^2\kappa^2}\int\limits^\infty_0\cfrac{\sin(\kappa r)}{\kappa r}\cfrac{d}{dr}[r^2\cfrac{d}{dr}D_\phi(r)]\ dr$

4. turbulent path의 평균 Modulation Transfer 함수
   $\mathcal{H}(f)=\exp[-\cfrac{1}{2}D(\lambda f_lf)]$, $f_l$은 system 초점 거리
   시스템이 공간 주파수에 따라 얼마나 세밀한 패턴을 전달하는 지 나타내는 함수.

Modulation Transfer Function (MTF)
정의: MTF는 광학 시스템이 공간 주파수 성분을 얼마나 잘 전달하는지를 나타내는 함수. 구체적으로, 주어진 주파수에서 contrast를 얼마나 잘 유지하는지를 측정.
측정: MTF 값은 0~1, 1은 완벽한 contrast 전달. 0은 전달되지 않음.
용도: 렌즈, 망원경, 카메라 등의 해상도와 선명도를 평가
Optical Transfer Function (OTF)
정의: OTF는 광학 시스템의 전체적인 전달 특성을 복소수 형태로 나타내는 함수. 진폭과 위상 정보가 모두 포함. 2가지 구성 요소로 분해: MTF(진폭 부분)와 PTF(Phase Transfer Function).
측정: OTF는 복소수 함수로, 그 크기는 MTF이고, 위상은 PTF.
용도: 광학 시스템의 종합적인 성능을 평가하는 데 사용, 특히 시스템의 위상 왜곡을 포함한 모든 전달 특성을 이해하는 데 유용

$C_n^2$(굴절률 상수)는 local turbulence 강도의 측정값이다. 하지만, 더 직관적인 의미를 가지고 있는 더 유용하고 측정 가능한 양 값이 있다.
추가적으로 $C_n^2$는전파거리 $\triangle z$의 함수고, 따라서 가끔 single numbers 특정한 optical 효과를 characterize하기 위해 다룰 수 있는 단일 숫자이다. 결과적으로 $C_n^2(z)$는 대기 coherence diameter $r_0$와 isoplanatic angle $\theta_0$와 같은 매개변수를 계산하는데 유용하다.

isoplanatic angle
관측자로부터 떨어진 두 지점 간의 관측 조건이 동일한 대기 또는 광학적 이상 상태를 가질 때까지의 각도

coherence diameter
광선이 광학시스템을 통과할 때 광학 시스템을 경험하는 두 점 간의 거리. 광선이 복잡한 굴절 또는 산란 과정을 거치면서 어느 정도의 상관성을 유지하는지를 나타냄.

coherence diameter와 isoplanatic angle은 $C_n^2(z)$의 적분과 관련되어 있다.

등방성의 균일한 optical field의 경우, modulus of the coherence factor는 아래처럼 계산될 수 있다.
→ homogenous → isotropic
$\mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)=\mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}+\triangle\mathbf{r}, z)=\mu(\triangle \mathbf{r},z)=\mu(|\triangle \mathbf{r}|, z)$

coherence factor($\mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}', z)$)의 정확한 형태는 optical source의 형태와 굴절률 Power Spectral Density 형태 둘다에 의존한다.

간단한 예시로, source가 평면파일때,
$\mu(|\triangle \mathbf{r}|, \triangle z)=\exp\{-4\pi^2k^2\int\limits^{\triangle z}_0\int\limits_0^{\infty}\Phi_n(\kappa,z)[1-J_0(\kappa|\triangle z|)]\ \kappa\ d\kappa dz$

전파 path에서의 의존성은 굴절률 상수 Power Spectral Desnity 안에 $C_n^2(z)$ 뿐이다.
$\mu^K(|\triangle \mathbf{r}|, \triangle z)=\exp[-1.46k^2|\triangle \mathbf{r}|^{5/3}\int\limits^{\triangle z}_0C_n^2(z)dz]$

광힉파의 공간적 coherence radius $\rho_0$는 $\mu(|\triangle\mathbf{r}|, \triangle z)$의 $\cfrac{1}{e}$ 지점으로 정의된다.

식 $D(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)=-2\ln \mu(\mathbf{r}, \mathbf{r}',z)$라고 할 때,
$\rho_0$의 동등한 정의로써, $D(\rho_0)=2 rad^2$를 사용할 수 있다.
다른 정의로는, Kolmogorov turbulence에서 plane wave의 coherence radius는 아래와 같이 계산된다.
$\rho_0=[1.46k^2\int\limits^{\triangle z}_0 C_n^2(z)\ dz]^{-3/5}$

평면파에 대해 대기 coherence diamter $r_0$는 더 흔히 사용되는 매개변수이며, 다음과 같다.
$D(\mathbf{r}_0, z)=6.88rad^2$, $r_0=2.1\rho_0$

D.L.Fried가 처음으로 도입한 Fried 매개변수는 $\rho_0$로부터 매우 다른 방식으로 소개되었다.
Fried는 망원경의 해상도를 대기 Modulation Transfer Function 아래의 부피로 분석했다. telescope diameter의 함수로써 쓸 때, 그래프에서 완만하게 증가하거나 감소하다가 특정지점에서 기울기가 급격하게 변하는 지점을 $r_0$로 정의된다.
source $z=0$에서 receiver $z=\triangle z$로 빛이 전파할 때

1. 평면파 source에서, 대기 coherence diameter $r_{0,pw}$는 수학적으로 다음과 같이 계산된다.
   $r_{0,pw}=[0.423k^2\int\limits^{\triangle z}_0 C_n^2(z)dz ]^{-3/5}$

2. point source(구면파)에서, 대기 coherence diameter $r_{0,sw}$는 다음과 같이 계산
   $r_{0,pw}=[0.423k^2\int\limits^{\triangle z}_0 C_n^2(z) (\cfrac{z}{\triangle z})^{5/3} dz ]^{-3/5}$

$r_0$ 값이 가시광선과 수직 뷰에서는 보통 5~10cm이다.
이 정의와 $r=|\triangle \mathbf{r}|$일 때, Kolmogorov turbulence에서 평면파가 source인 wave structure function일 때
$D^K(r)=6.88(\cfrac{r}{r_0})^{5/3}$

Kolmogorov turbulence는 inner scale $l_0=0$과 outer scale $L_0=\infty$라고 가정한 경우이다.

von Karman Power Spectrum Density를 사용하면,
유한한 outer scale로 설명할 수 있고, 그 결과 더 정확한 strucuture 함수는
$D^{vK}(r)=6.16r_0^{-5/3}[\cfrac{3}{5}\kappa_0^{-5/3}-\cfrac{(r/(2\kappa_0))^{5/6}}{\Gamma{(11/6)}}K_{5/6}(\kappa_0r)]$

inner scale과 outer scale이 모두 중요한 경우, modified von Karman PSD를 사용할 수 있다.
$D^{mvK}(r)=3.08r_0^{-5/3}\{\Gamma(-\cfrac{5}{6})\ \kappa_m^{-5/3} [1-\,_1F_1(-\cfrac{5}{6};1;-\cfrac{\kappa_m^2r^2}{4})] -\cfrac{9}{5}\kappa_0^{1/3}r^2 \}$

• $\,_1F_1(a,b,z)$는 첫번째 종류의 confluent hypergeometric function(수렴)
• $\,_1F_1(a,b,z)=1+\cfrac{a}{b}z+\cfrac{a(a+1)}{b(b+1)}\cfrac{z^2}{2!}+...=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{(a)_k}{(b)_k}\ \cfrac{z^k}{k!}$

Andrews et al.은 hypergeometric 함수에 대해 algebraic 근사를 도입하여 더 간단한 structure function 형태로 만들었다. 2% 오차 이내로
$D^{mvK}(r)\sim7.75r_0^{-5/3}l_0^{-1/3}r^2[\cfrac{1}{(1+2.03r^2/l_0^2)^{1/6}}-0.72(\kappa_0l_0)^{1/3}]$

다른 source들의 wave structure function과 Hill model과 같은 더 정교한 PSD model은 Andrews and Phillips와 같은 참고문헌에서 찾을 수 있다.

파동광학 시뮬레이션에서 랜덤적으로 생성된 phase screen의 특성을 확인하는데 매우 유횽하기 때문에, 평면파 경우들이 주어진다.

계산된 wave structure function 다양한 형태와 함께
$\Phi_\phi(\kappa)=\cfrac{1}{4\pi^2\kappa^2}\int\limits^\infty_0\cfrac{\sin(\kappa r)}{\kappa r}\cfrac{d}{dr}[r^2\cfrac{d}{dr}D_\phi(r)]\ dr$
Power Spectral Desnity 함수의 phase를 계산하게 해준다. 실질적으로 말하면, 더 쉽게 계산하기 위해 Power Spectral Density 상을 만들기 위한 다른 관계가 있다. 약한 turbulence에서 평면파, phase PSD는 $\Phi_\phi(\kappa)=2\pi^2k^2\triangle z\ \Phi_n(\kappa)$

그러면 Kolmogorov와 von Karman, modified von Karman 굴절률 PSD의 phase PSD를 보여주는 것은 간단하다.

굴절률 PSD 종류	식
Kolmogorov	$\Phi^K_\phi(\kappa)=0.49r_0^{-5/3}\kappa^{-11/3}$
von karman	$\Phi^{vK}_\phi(\kappa)=\cfrac{0.49r_0^{-5/3}}{(\kappa^2+\kappa_0^2)^{11/6}}$
modified von Karman	$\Phi^{mvK}_\phi(\kappa)=0.49r_0^{-5/3}\cfrac{\exp(-\kappa^2/\kappa_m^2)}{(\kappa^2+\kappa_0^2)^{11/6}}$

이 PSD는 turbulent phase screen의 랜덤 샘플을 생성하는데 사용한다. 이 방법은 FT를 사용하며, 여기서 FT 규칙은 $rad/m$가 아닌 $cycles/m$(주기/m) 단위의 ordinary frequency를 사용한다.
그에 맞춰, 그것은 $f$ 항으로 PSD를 작성하는데 유용하다.

$\Phi^K_\phi(f)=0.49r_0^{-5/3}f^{-11/3}$

다른 PSD도 이를 따른다.

Fried가 $r_0$를 도입했을 떄, 그는 대기를 통과하여 찍은 image의 평균 Modulation Transfer Function을 계산했는데, 그 결과를 요약하면
$\mathcal{H}(f)=\exp\{-3.44(\cfrac{\lambda f_l f}{r_0})^{5/3} [1-\alpha(\cfrac{\lambda f_l f}{D})^{1/3}] \}$
$=\exp\{-3.44(\cfrac{f}{2f_0}\cfrac{D}{r_0})^{5/3} [1-\alpha(\cfrac{f}{2f_0})^{1/3}] \}$

• 다시 $f_0$가 diffraction-limited cutoff frequency
• $\alpha=\begin{cases} 0 & \text{for long-exposure imagery}\\ 1 & \text{for short-exposure imagery without scintillation}\\ 2 & \text{for long-exposure imagery with scintillation}\\ \end{cases}$

단노출과 장노출 사이 핵심 구분점은 대기 경사의 correction이다.
장노출 이미지는 image plane에서 image 중심이 랜덤하게 많이 wander된다.
단노출 이미지는 오직 하나의 realization of tilt가 image에 영향을 줄 정도로 짧다고 가정한다.

여러개의 단노출 이미지가 평균화될때, image들은 중심에서 shift된다. 경사 효과를 제거하고.

대기는 위의 $\mathcal{H}=\exp\{-3.44(\cfrac{f}{2f_0}\cfrac{D}{r_0})^{5/3} [1-\alpha(\cfrac{f}{2f_0})^{1/3}] \}$ transfer function을 가지고 있다.
반면에 자신만의 Optical Transfer Function(필터 함수)를 가지고 있다. OTF 복합 시스템은 2개 OTF의 곱이다. 예를 들어, 복합 Modulation Transfer Function의 그래프는 원형 조리개이고 $\cfrac{D}{r_0}=4$인 경우 아래다.

$D/r_0=4$인 복합 MTF다.

• 검은 실선: 비수차 경우
• 회색 dash 선: 오직 phase 변동이 있는 단노출 경우
• 회색 dash-dot 선: sctinllation이 상당할 때 단노출 경우
• 회색 dotted 선: 긴노출 경우

평균 MTF는 imaging system의 Strehl ratio를 결정하는 데 사용한다.

Strehl ratio
광축에서 이상적인 point spread function 대비 actual point spread function 값의 비율이 Strehl ratio다.
명확히, imaging system의 성능은 amplitude/point spread function에 의해 결정된다.
성능을 나타내기 위해 단수 지표를 가지면 다루기 쉽다. 대부분 흔한 metric은 Strehl ratio다.
보통, 비수차 시스템과 거의 동일한 수차 시스템의 비교이다. 원점에서 $h(u,v)=\cfrac{1}{\lambda z_i}\int\limits^{\infty}_{-\infty}\int\limits^{\infty}_{-\infty}\ \mathcal{P}(x,y)e^{-i\frac{2\pi}{\lambda z_i}(ux+vy)}dxdy$를 사용해 PSF의 광축 값이 계산된다. ($\mathcal{P}(x,y)=P(x,y)e^{i2\pi W(x,y)}:$ 일반화된 pupil 함수, $z_i:$이미지 거리)
$|h(0,0)|^2=\cfrac{1}{\lambda^2z_i^2}|\int\limits^\infty_{-\infty}\int\limits^\infty_{-\infty}\mathcal{P}(x,y)e^0dxdy|^2$
$\mathcal{S}=\cfrac{|\int\limits^{\infty}_{-\infty}\int\limits^{\infty}_{-\infty}\mathcal{P}(x,y)dxdy|^2}{|\int\limits^{\infty}_{-\infty}\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x,y)dxdy|^2}$
$\phi(x,y)$ 수차 위상을 더 명확하게 하기 위해,
$\mathcal{S}=\cfrac{|\int\limits^{\infty}_{-\infty}\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x,y)e^{i\phi(x,y)}dxdy|^2}{|\int\limits^{\infty}_{-\infty}\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x,y)dxdy|^2}$
$\mathcal{S}=\cfrac{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\mathcal{H}(f_x,f_y)df_xdf_y}{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\mathcal{H}_{dl}(f_x,f_y)df_xdf_y}$
$\mathcal{H}_{dl}:$ 비수차 시스템의 Optical Transfer Function

Fried의 일은 Strehl ratio를 계산할 때 turbulence의 효과를 포함한 방법을 제공한다.

• $\mathcal{S}=\cfrac{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\mathcal{H}(f_x,f_y)df_xdf_y}{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\mathcal{H}_{dl}(f_x,f_y)df_xdf_y}$
• $\mathcal{H}=\exp\{-3.44(\cfrac{f}{2f_0}\cfrac{D}{r_0})^{5/3} [1-\alpha(\cfrac{f}{2f_0})^{1/3}] \}$

$\mathcal{S}=\cfrac{16}{\pi}\int\limits^1_0 f'(\cos^{-1}f'-f'\sqrt{1-f^2})$
$\times\exp\{-3.44(f'\cfrac{D}{r_0})^{5/3}[1-\alpha(f')^{1/3}]\}df'$
($f'=f/(2f_0)$는 정규화된 공간 주파수.

• Fried가 수치적으로 각 $\alpha$ 값의 적분을 평가한다.
• Andrews and Phillips $\alpha=0$ scintillation 없이 긴노출에 대한 분석적 근사를 개발했다.
  - $S\simeq\cfrac{1}{[1+(D/r_0)^{5/3}]^{6/5}}$

이 근사는 모든 $D/r_0$에 꽤 정확하다.
Sasiela는 Mellin 변환을 사용하여 이 적분의 사례를 평가하였고, 그 결과는 Meijer G함수 또는 Fox-H 함수로 표현할 수 있다.

급수 전개의 첫 몇 항을 사용하면 다항식 표현 근사로 이끌 수 있다.
$\mathcal{S}\simeq(\cfrac{r_0}{D})^2-0.6159(\cfrac{r_0}{D})^3+0.0500(\cfrac{r_0}{D})^5+0.132(\cfrac{r_0}{D})^7$
$\cfrac{D}{r_0}>2$면 매우 정확하다.

만약 광학시스템의 특성(OTF와 point spread 함수)가 shift-invariant($x(t-t_0)→y(t-t_0)$)하면, system은 anisoplanatism 특성(대기를 통해 들어오는 광선이 서로 다른 경로를 통과하면서 각기 다른 왜곡을 받는 현상)을 가진다.
이를 광학 시스템에 적용하면, 하지만 system 관심은 대기이다.
이 anuglar anisoplantism(넓은 시야)의 심각성을 측정하기 위해 phase의 anuglar structure function은
$D_\phi(\triangle \theta)=\langle|\phi(\theta)-\phi(\theta+\triangle\theta)|^2\rangle$

• $\theta:$ object field에서 angular 좌표
• $\triangle \theta:$ object field에서 두 점 사이 angular 분리
• $\theta_0:$ isoplantic angle(대기 영향을 받지 않고 균일한 영역)

$D_\phi(\theta_0)=1 rad^2$

point source(구형파)인 atmospheric coherence diameter는
$\theta_0=[2.91k^2\triangle z^{5/3}\int^{\triangle z}_0C_n^2(z)(1-\cfrac{z}{\triangle z})^{5/3}dz]^{-3/5}$

turbulence를 통과하는 optical path 길이가 축 방향을 통과하는 광경로 길이와 크게 다르지 않은 최대 시야각(field angle)로 간주될 수 있다.
이 $\theta_0$는 보통 $5\sim10\mu rad$ 가시광선과 수직 시야에서

Log-amplitude(또는 irradiance) 통계는 scintillation 강도를 결정하는데 중요하다.
log-amplitude varaince는 흔한 scintillation 척도이다.
$\sigma_\xi^2(\mathbf{r})=\langle\chi(\mathbf{r})^2\rangle-\langle\chi(\mathbf{r})\rangle^2$

평면파와 발산하는 구형파 source 각각 log-amplitude varainces 를 다음과 같이 계산
$\sigma_{\chi, pw}^2=0.563k^{7/6}\triangle z^{5/6} \int\limits_0^{\triangle z}C_n^2(z)(1-\cfrac{z}{\triangle z})^{5/6}dz$
$\sigma_{\chi, pw}^2=0.563k^{7/6} \int\limits_0^{\triangle z}C_n^2(z) z^{5/6}(1-\cfrac{z}{\triangle z})^{5/6}dz$

약한 fluctuation은 $\sigma_{\chi}^2<0.25$, 강한 fluctuation은 $\sigma_\chi^2\gg 0.25$
여기 소개된 Rytov method는 약한 fluctuation에만 유효하다.