simulation은 분석적으로 다루기 어렵지만, 어떤 코딩언어든 어떤 source field여도 optical-wave 전파를 시뮬레이션할 수 있다.
Wave-optics 시뮬레이션은 DFT들에 기반하므로, aliasing은 DFTs에 어려움을 준다.

waveform의 대역폭 제한이 생기면, Nyquist 기준을 맞추면서 aliasing을 피하기 위해 충분히 세밀하게 sampling이 필요하다. 하지만 대부분 optical source들은 공간적으로 대역폭 제한되어 있지 않고, Fresnel 회절 적분 내부 2차 항의 phase 역시 대역폭이 제한되지 않는다.

optical field의 공간 주파수 spectrum은 그것의 평면파 spectrum에 직접적으로 매핑되기 때문에, 전파 기하학은 observing aperture 내에서 source의 공간 주파수 내용이 얼마나 보일 수 있는지에 한계를 둔다. 이것은 물리적인 이유이고, 이 원리는 Coy 접근법의 sampling에 기초한다.

1. 대역 제한 설정

source 평면에서 각 point의 optical field는 observation 평면으로 광선 묶음을 방출한다. 각 광선은 그 방향에 전파되는 평면파를 보여준다.
source에서 observation 평면에 입사하는(incident) 최대 평면파 방향을 기준 법선(reference normal)에 대해 결정하기 위해 propagation geometry 분석해본다.

명확하게, grid spacing과 grid point 수를 결정하는 것은 정확한 시뮬레이션을 보장하기 위해 필수적이다. 이에 따른 개발은 필요한 공간 주파수 대역폭의 제한을 설정하기 위한 propagation geometry를 사용하고, 그 결과 sample point 수와 grid spacing이다.
이것은 source 평면 grid의 spacing과 size, observation 평면 grid의 spacing과 size를 결정한다.
이 점에서, grid spacing에 제한을 두기 위해 Nyquist 기준을 상기할 필요가 있고, 다음과 같은 조건을 만족해야한다.

$\delta \le \cfrac{1}{2f_{max}}$, $f_{max}$: 관심 영역의 최대 공간 주파수

광선 각도와 공간 대역폭 간 연결고리를 만들기 위해,
$U(x_2,y_2)=\cfrac{e^{ik\triangle z}}{i\lambda \triangle z}e^{i\frac{k}{2\triangle z}(x_2^2+y_2^2)}\mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1=\cfrac{\mathbf{r}_2}{\lambda \triangle z}]\ \{U(x_1,y_1)e^{i\frac{k}{2\triangle z}(x_1^2+y_1^2)}\}$

FT 내부 2차 phase 항은 가상의 구면파를 보여주고, observation 평면으로 초점이 맞춰진다. 만약 source field의 위상이 이 구면을 기준으로 측정되는 것처럼 보인다.
이러한 방식으로 위상을 다시 측정한 후, source field는 변환되어 각 공간 주파수 벡터 $\mathbf{f_1}$이 observation 평면의 특정 좌표에 대응된다.
아래, sampling grids에 제약을 주기 위해 geometry와 공간 주파수 사이 연결 고리를 이용한다.

angular-spectrum 회절 공식에서, 컨셉은 optical field $U(x,y)$가 진폭과 방향을 달리하는 평면파($U_p(x,y,z,t)$)의 합으로 분해될 수 있다.
임의의 방향 평면파 $U_p(x,y)$는 주어진 위상 표현이다.

$U_p(x,y,z,t)=e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-2\pi \nu t)}$

• $\mathbf{r}=x\mathbf{\hat{i}}+y\mathbf{\hat{j}}+z\mathbf{\hat{k}}$ 3차원 위치 벡터
• $\mathbf{k}=\cfrac{2\pi}{\lambda}(\alpha\mathbf{\hat{i}}+\beta\mathbf{\hat{j}}+\gamma\mathbf{\hat{k}})$ optical wavevector
• $\nu$: optical wave의 시간 주파수

방향 cosine 성분들을 위와 같이 그릴 수 있고 phasor 기호를 사용하여 평면파는 다음과 같다.

$U_p(x,y,z)=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}=e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\alpha x+\beta y)}e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\gamma z}$

$z=0$ 평면에서, 복소 지수 형태인 source $e^{i2\pi(f_xx+f_yy)}$는 방향 cosine으로 전파되는 plane wave로 간주된다.

그러므로, optical source의 공간 주파수 spectrum은 공간 주파수가 방향 cosine($\alpha, \beta$)으로 매핑된 평면파 spectrum이다.
$\alpha=\lambda f_x$
$\beta=\lambda f_y$
$\gamma=\sqrt{1-(\lambda f_x)^2-(\lambda f_y)^2}$

angular spectrum의 cutoff 각도는 $\alpha_{max}=\lambda f_{max}$로 정의되고 $\alpha_{max}$는 angular spectrum에서 최대 각이고 observed field에 영향을 줄 수 있다.
다시 optical field의 maximum angular spacing의 관계를 다시 쓰면,
$\delta_1\le\cfrac{\lambda}{2\alpha_{max}}$

반면에, grid spacing이 주어지면, sample된 버전의 optical field에 의해 표현되는 최대 angular content는
$\alpha_{max}=\cfrac{\lambda}{2\delta_1}$

이는 grid 매개변수를 propagation geometry에 연결할 수 있도록 한다.

방향 cosine

• 주어진 방향의 벡터와 기준 방향(일반적으로 x, y, z축) 사이의 코사인 값
• 이는 주어진 방향이 기준 방향에 대해 어느 정도로 정렬되어 있는지를 측정하는 데 사용
• 방향 cosine 값이 1에 가까울수록 두 방향이 비슷하거나 정렬되어 있음, 0에 가까울수록 두 방향이 서로 직교하거나 상관관계가 없음

---

2. Propagation Geometry

문제는 $\alpha_{max}$를 결정하기 위해 source와 receiver의 크기를 사용하는 것이다.
Coy, Praus, and Mansell에 개발된 방법이 있다. 1차원 공간에 제한되지만, 이를 2차원으로 일반화할 수 있다. 추가적으로 wavefront 전파는 일반성을 위해 구형으로 가정된다.

가정

• source field는 최대 공간 범위 $D_1$ 가짐.

• observation plane의 관심영역은 최대 공간 범위 $D_2$ 가짐. $D_2$는 센서의 지름.

• source 평면의 grid spacing을 $\delta_1$, observation 평면의 grid spacing을 $\delta_2$

• source field가 평면파의 합으로 고려되는 반면, 대안적으로 point source의 합으로 고려될 수 있다. (정확히 Huygens 원리)
  이 관점에서, grid들은 충분히 미세하게 sampling되어 source field의 각 point가 관심 영역의 observation 평면을 완전히 조명하도록 보장한다.
  

• $\alpha_{max}$(최대 광선 각도)는 source 평면의 field point들의 발산각

• $\alpha_{edges}$: source wavefront의 아래 edge와 observing aperture의 위 edge 사이각
  - $\alpha_{edges}=\cfrac{D_1+D_2}{2\triangle z}$

• source wavefront의 아래 edge에서 가상 구면파 optical wavevector $\mathbf{k}$는 z축과의 각도가 생김. 고정된 수의 grid point들이 있기 때문에, source plane에서 $\delta_1$ 거리만큼 벌려져있고, observation 평면에서 $\delta_2$ 만큼 벌려진다.
  - observation/source grid 크기의 비는 $\cfrac{\delta_2}{\delta_1}$이다.
  - 따라서 $\mathbf{k}$ 벡터는 observation 평면의 $x_2=\cfrac{-D_1\delta_2}{2\delta_1}$에서 교차한다.

• $\alpha_k=(\cfrac{D_1\delta_2}{2\delta_1}-\cfrac{D_1}{2})\cfrac{1}{\triangle z}=\cfrac{D_1}{2\triangle z}(\cfrac{\delta_2}{\delta_1}-1)$, 근축 근사로

• $\alpha_{max}=\lambda f_x$는 공간 주파수 spectrum의 주파수 벡터를 방향 코사인으로 맵핑할 수 있을 때 이 때 cutoff angle을 $\alpha_{max}=\lambda f_{max}$
  - observed field까지 영향을 주는 angular spectrum의 최대 각도
  - $\alpha_{max}=\alpha_{edges}+\alpha_{k}=\cfrac{D_1+D_2}{2\triangle z}+\cfrac{D_1}{2\triangle z}(\cfrac{\delta_2}{\delta_1}-1)=\cfrac{D_1\delta_2/\delta_1+D_2}{2\triangle z}$

sampling 요구조건인 $\alpha_{max}=\cfrac{\lambda}{2\delta_1}$보다 작아야하는 것에 대입하면,
$\cfrac{D_1\delta_2/\delta_1+D_2}{2\triangle z} \le \cfrac{\lambda}{2\delta_1}$

$\delta_2$에 대한 부등식으로 정리하면,
$\delta_2 \le (\cfrac{\lambda\triangle z}{\delta_1}-D_2)\cfrac{\delta_1}{D_1}$

$\delta_2 \le \cfrac{\lambda\triangle z}{D_1}-\cfrac{D_2}{D_1}\delta_1$

위 식을 만족한다는 것은 선택한 grid spacings가 obsevation 평면 관심영역에 영향을 주는 공간 주파수를 충분히 sample 했는지 뜻한다.

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observation 평면 grid의 필요한 공간 범위을 결정하기 위해 유용하다.

observation 평면에서 조명되는 영역의 지름인 $D_{illum}$($\alpha_{max}$ 최대각을 가진 source에 의한)는

$D_{illum}=D_1\cfrac{\delta_2}{\delta_1}+2\alpha_{max}\triangle z=D_1\cfrac{\delta_2}{\delta_1}+\cfrac{\lambda\triangle z}{\delta_1}$

observation 평면에서 aliasing은 observing aperture의 영역을 침범하지 않는 한 허용될 수 있다.

• grid의 공간 범위가 조명된 영역보다 작다면, 우리는 조명된 영역의 edge가 grid의 반대편으로 감싸지는 것을 상상할 수 있다. observing aperture의 edge에 딱 맞게 감싸지기 위해, grid 범위는 조명된 영역과 observing aperture 지름의 평균만큼 적어도 커야 한다. 그래야만 grid가 딱 반만 감싸지고, 결과적으로
  $D_{grid}\ge\cfrac{D_{illum}+D_2}{2}=\cfrac{D_1\cfrac{\delta_2}{\delta_1}+\cfrac{\lambda \triangle z}{\delta_1}+D_2}2$

observation 평면에서 grid points의 수는
$N=\cfrac{D_{grid}}{\delta_2}\ge\cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2}{2\delta_2}+\cfrac{\lambda\triangle z}{2\delta_1 \delta_2}$

위 식은 observation 평면의 공간적 범위가 주변을 감싸는 빛이 observation 평면의 관심 영역으로 침투하지 않는 것을 보장하기 위해 충분히 커야되는 것을 뜻한다.

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3. 전파 방법의 Validity

observation 평면의 관심영역에서 aliasing을 피하기 위해 기하학적 제약사항을 만족하는 것이 만족되는 결과를 보장하진 못한다.
어떤 propagation(전파 방법)을 사용했는지 고려해야 한다.
Fresnel 적분 방법과 angular-spectrum 방법은 다른 제약을 가지고 있다.

푸리에 변환에서 사용되는 2차 위상 변수를 aliasing하는 것을 피해야하며, 두 전파 방법에는 서로 다른 2차 위상 요소가 있다.

다른 제약사항들이 Fresnel-integral 접근이 긴 전파에서 유효하다. 반면 angular-spectrum 접근은 짧은 propgation에서 유효하다.

3.1 Fresnel 적분 propagation

Fresnel 적분 propagation의 특정 grid spacing 고려에 있어서 기하학적 제약사항 적용하기
source 평면에서 2차 위상의 alaising을 어떻게 피하는지 계산한다. 이 분석은 grid parameter를 선택할 때 만족해야하는 ineqaulity(부등식)들의 결과가 된다.

3.1.1 one step fixed observation-plane grid spacing

observation 평면 grid spacing $\delta_2$가 고정되어 있음.
$\delta_2=\cfrac{\lambda\triangle z}{N\delta_1}$

1. propagtion geometry 부등식으로 유도하기
   $\delta_2\le\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1}- \cfrac{D_2}{D_1}\delta_1$
   $\cfrac{\lambda\triangle z}{N\delta_1}\le\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1}-\cfrac{D_2}{D_1}\delta_1$
   $\cfrac{1}{N}\le(\cfrac{1}{D_1}-\cfrac{D_2\delta_1}{D_1\lambda \triangle z})\delta_1$
   $\cfrac{D_1\lambda \triangle z}{\delta_1(\lambda \triangle z-D_2\delta_1)}\le N$

2. observation 평면에서 grid points 갯수 조건으로부터 유도하기
   $N \ge\cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2}{2\delta_2}+\cfrac{\lambda \triangle z}{2\delta_1\delta_2}$
   $N \ge\cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2N\delta_1}{2\lambda \triangle z}+\cfrac{N\delta_1}{2\delta_1}$
   $N \ge\cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2\delta_1}{2\lambda \triangle z}N+\cfrac{N}{2}$
   $\cfrac{N}{2} - \cfrac{D_2\delta_1}{2\lambda \triangle z}N \ge\cfrac{D_1}{2\delta_1}$
   $N(1 - \cfrac{D_2\delta_1}{\lambda \triangle z}) \ge\cfrac{D_1}{\delta_1}$
   $N\ge\cfrac{D_1}{2\delta_1(1 - \cfrac{D_2\delta_1}{\lambda \triangle z})}$
   $N\ge\cfrac{D_1\lambda \triangle z}{2\delta_1(\lambda \triangle z - D_2\delta_1)}$

또한 이 부등식에 2가지 특성은
1. $N$이 양수이기 때문에, $\lambda\triangle z > D_2\delta_1$을 만족해야함.
2. $\lambda\triangle z → D_2\delta_1$이 되면 최소 필요 $N$은 무한대로 발산.

3.1.2 aliasing 피하기

free-spce amplitude spread 함수는 매우 큰 대역폭을 갖는다.(전파되는 파동의 진폭 분포를 설명하는 함수)

사실 cutoff frequency는 $\cfrac{1}{\lambda}$인데 유한한 크기의 grid에서 표현하기에는 실행 불가능할 정도로 크다.
만약 source 평면 grid spacing $\delta_1=\cfrac{\lambda}{2}\approx 1000/2nm$를 사용하면, 가장 큰 grid 범위는 $L=N\delta_1$, $500nm\times 1024 = 0.512mm$가 될 수 있다.(컴퓨터에 따라 2048, 4096 선택 가능) 실제 문제에서 이렇게 작은 grid로 시뮬레이션할 수 있는 것은 거의 없다.

실제로, 가장 좋은 것은 모든 주파수의 grid에서 올바르게 보여주는 것을 보장하는 것이다. 우리는 모든 가능한 종류의 source 평면 field를 설계할 수 없다.

그래서 최대 공간 범위 $D_1$을 가지는 apodized beam(빔의 가장자리에서 강도를 점진적을 줄여 빔 프로파일을 매끄럽게)과 반지름 $R$ parabolic wavefront(포물선 형태, 구면수차를 줄임)로 source를 모델링함으로써 sampling 가이드라인을 얻는다.

$A(\mathbf{r}_1)$이 source aperture의 광의 진폭을 전달하는 비율일 때,
$U(\mathbf{r}_1)=A(\mathbf{r}_1)e^{i\frac{k}{2R}r_1^2}$

$A(\mathbf{r}_1)$의 0이 아닌 부분에서 최대 공간 범위는 $D_1$

• $R<0$에서 발산하는 빔
• $R>0$에서 수렴하는 빔
  이 source 종류에서, one-step Fresnel 회절 적분은

$U(\mathbf{r}_2)=\mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z},\mathbf{r}_2]\ \mathcal{V}[\cfrac{1}{\lambda\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\{U(\mathbf{r}_1)\}$
$=\mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z},\mathbf{r}_2]\ \mathcal{V}[\cfrac{1}{\lambda\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\{A(\mathbf{r}_1)e^{i\frac{k}{2R}r_1^2}\}$
$=\mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z},\mathbf{r}_2]\ \mathcal{V}[\cfrac{1}{\lambda\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1}{R}, \mathbf{r}_1]\{A(\mathbf{r}_1)\}$
$=\mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z},\mathbf{r}_2]\ \mathcal{V}[\cfrac{1}{\lambda\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R}, \mathbf{r}_1]\ \{A(\mathbf{r}_1)\}$

정확한 결과를 얻는 핵심은 Nyquist 기준을 만족하기 위해 충분히 높게 FT 내부 2차 phase factor를 sample하는 것이다.
충분히 세밀하게 sampling하지 않으면, 의도된 높은 주파수 성분이 더 낮은 주파수에서 보일 수 있다. 낮은 주파수는 낮은 광선 각도에 매핑되며, 이는 observation 평면에 잘못 도달할 수 있습니다.

aliasing을 최소화하거나 피하기 위해서, 위 식에서 곱 $\mathcal{QA}$의 대역폭을 결정하는데 필요하다.
Lambert와 Fraser는 매우 작은 aperture의 경우 대역폭이 $\mathcal{A}$에 의해 결정되며, 더 큰 aperture의 경우 대역폭이 aperture의 edge에서의 $\mathcal{Q}$의 위상에 의해 결정된다는 것을 입증했다.
보통, 큰 aperture인 후자에 해당하므로 우리는 $\mathcal{Q}$의 phase에 초점을 둔다.
국소적 공간 주파수 $\mathbf{f}_{loc}$는 기본적으로 waveform의 국소적 변화율이다.
$\mathbf{f}_{loc}=\cfrac{1}{2\pi}\nabla \phi$

• $\phi$: optical phase(radians)
• $\mathbf{f}_{loc}$의 직교 좌표계 성분: $m^{-1}$

급격한 변화를 가진 waveform(큰 기울기)은 high-frequency 성분을 가진다. 적분 내부의 2차 phase 항의 최대 국소적 공간 주파수를 찾기를 원하고 여기에 최소 2배를 sample하면 된다.
2차 phase가 같은 직교 좌표계 방향에서 같은 변화를 가진다면, $x_1$ 방향만 분석하면 된다.

$f_{locx}=\cfrac{1}{2\pi}\ \cfrac{\partial}{\partial x}\ \cfrac{k}{2}(\cfrac{1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})\ r_1^2$, $r_1^2=x_1^2+y_1^2$
$=(\cfrac{1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})\cfrac{x_1}{\lambda}$

• $x_1=\cfrac{N\delta_1}{2}$인 grid의 edge에서 $f_{locx}$는 최대값을 가진다.
• source가 apodized된다면 field가 0이 아닌 부분은 오직 최대 공간 범위 $D_1$인 중심 aperture 이내이다. 그리고 phase를 포함한다. 따라서, source field와 2차 phase 항의 곱은 $x_1=±D_1/2$ 최대 국소 공간 주파수 값을 가진다.

$f_{locx}=(\cfrac{1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})\ \cfrac{D_1}{2\lambda}\le\cfrac{1}{2\delta_1}$

• $\triangle z\ge\cfrac{D_1\delta_1R}{\lambda R-D_1\delta_1}$, for finite $R$

• $\triangle z\ge\cfrac{D_1\delta_1}{\lambda}$, for infinite $R$

$\triangle z$는 최소 요구된 값에 가까울 때 시뮬레이션 결과가 완전히 분석적 결과랑 맞지 않다.

3.1.3 square aperture의 one_step_prop

정확한 시뮬레이션 결과를 얻기 위해 소리 분석의 샘플링을 사용한 process를 묘사한다.
sampling 제약사항의 고려 때문에 square aperture를 one_step_prop 사용 예시를 준다.
grid points의 최소 수를 $N\ge\cfrac{D_1\lambda\triangle z}{\delta_1(\lambda \triangle z-D_2\delta_1)}$ 식을 사용하여 계산한다.
66 grid points 갯수가 요구된다. 여기에 2의 거듭제곱 수인 128로 결정된다.
sampling과 관련된 simulation parameter

parameter	value
$D_1$	2mm
$D_2$	3mm
$\lambda$	1μm
$\triangle z$	0.5m
$\delta_1$	40μm
$\delta_2$	97.7μm
$N$	128

위 parameter를 토대로 $\triangle z\ge\cfrac{D_1\delta_1}{\lambda}$ 식을 적용하여 one step of Fresnel integral propagation 최소 거리는 8cm
최소 요구량 보다 2배 가까이 더 많은 grid point들이 있고 propagation이 limit보다 훨씬 더 멀기 때문에, 매칭 이론의 결과를 기대할 수 있다.

3.2 Angular-spectrum propagation

observation 평면 grid spacing이 고정되어 있지 않다.
$\delta_1$, $\delta_2$를 독립적으로 고를 수 있다.
따라서 Fresnel-integral 방법보다 복잡하다.
2가지 추가 부등식을 반드시 만족해야하는데, 이는 높은 주파수 성분이 observation 평면 관심영역을 손상시키는 것을 방지하기 위해서다.
이는 angular-specturm 방법이 2차 phase 항의 aliasing을 피하기 위한 요구조건을 가지기 때문이다.
$U(\mathbf{r}_1)$ source field를 $U(\mathbf{r}_1)=A(\mathbf{r}_1)e^{i\frac{k}{2R}r_1^2}$ 제한한다.
이 형태로, angular-spectrum 방법에 따라
$U(\mathbf{r}_2)=\mathcal{Q}[\cfrac{m-1}{m\triangle z}, \mathbf{r}_2]\ \mathcal{F}^{-1}[\mathbf{f}_1, \cfrac{\mathbf{r}_2}{m}]\ \mathcal{Q}_2[-\cfrac{\triangle z}{m}, \mathbf{f}_1]\times\mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1-m}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \cfrac{1}{m} \{U(\mathbf{r}_1)\}$
$=\mathcal{Q}[\cfrac{m-1}{m\triangle z}, \mathbf{r}_2]\ \mathcal{F}^{-1}[\mathbf{f}_1, \cfrac{\mathbf{r}_2}{m}]\ \mathcal{Q}_2[-\cfrac{\triangle z}{m}, \mathbf{f}_1]\times\mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1-m}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \cfrac{1}{m} \{A(\mathbf{r}_1)e^{i\frac{k}{2R}r_1^2}\}$
$=\mathcal{Q}[\cfrac{m-1}{m\triangle z}, \mathbf{r}_2]\ \mathcal{F}^{-1}[\mathbf{f}_1, \cfrac{\mathbf{r}_2}{m}]\ \mathcal{Q}_2[-\cfrac{\triangle z}{m}, \mathbf{f}_1]\times\mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \mathcal{Q}[\cfrac{1-m}{\triangle z}, \mathbf{r}_1]\ \cfrac{1}{m} \mathcal{Q}[\cfrac{1}{R}, \mathbf{r}_1] \{A(\mathbf{r}_1)\}$

$=\mathcal{Q}[\cfrac{m-1}{m\triangle z}, \mathbf{r}_2]\ \mathcal{F}^{-1}[\mathbf{f}_1, \cfrac{\mathbf{r}_2}{m}]\ \mathcal{Q}_2[-\cfrac{\triangle z}{m}, \mathbf{f}_1]\times\mathcal{F}[\mathbf{r}_1, \mathbf{f}_1]\ \cfrac{1}{m} \mathcal{Q}[\cfrac{1-m}{\triangle z}+\cfrac{1}{R}, \mathbf{r}_1]\ \{A(\mathbf{r}_1)\}$

여기에 2차 phase 항이 FT(또는 IFT) 내부에 있다.
$\mathcal{Q}[\cfrac{1-m}{\triangle z}+\cfrac{1}{R}, \mathbf{r}_1]=\exp[-i\cfrac{k}{2}(\cfrac{1-m}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})|\mathbf{r}_1|^2]$

$\mathcal{Q}_2[-\cfrac{\triangle z}{m}, \mathbf{f}_1]=\exp(i\pi^2\cfrac{2\triangle z}{mk}|\mathbf{f}_1|^2)$

3.1처럼 최대 국소 공간 주파수를 계산할 필요가 있고 Nyquist sampling 기준을 적용한다.
$\mathbf{f}_{loc}=\cfrac{1}{2\pi}\nabla \phi$

이는 모든 현재 공간 주파수가 aliased되지 않도록 하여 observation 평면 field를 보존한다.

첫번째 phase 항에서,

phase $\phi=\cfrac{k}{2}(\cfrac{1-m}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})|\mathbf{r}_1|^2$
$=\cfrac{k}{2}(\cfrac{1-\delta_2/\delta_1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})|\mathbf{r}_1|^2$

국소 공간 주파수
$f_{lx}=\cfrac{1}{2\pi}\cfrac{\partial}{\partial x_1}\phi$

$=\cfrac{1}{\lambda}(\cfrac{1-\delta_2/\delta_1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R})\ x_1$

여기서도, 최대 공간주파수는 $f_{lx}$는 $x_1=±D_1/2$에서 일어남. 이 인자는 source 평면 pupil 함수에 의해 곱해지기 때문에. Nyquist smapling을 적용하면
$\cfrac{1}{\lambda}|\cfrac{1-\delta_2/\delta_1}{\triangle z}+\cfrac{1}{R}|\ \cfrac{D_1}{2}\le\cfrac{1}{2\delta_1}$

$\delta_2$에 대해 정리하면,
$(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1-\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})\le\delta_2\le(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1+\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})$

두번째 phase 항에서

amplitude trnasfer function에서

$\phi=\pi^2\cfrac{2\triangle z}{mk}|\mathbf{f}_1|^2$

$=\pi^2\cfrac{2\triangle z\delta_1}{\delta_2k}|\mathbf{f}_1|^2$

국소 공간 주파수($f'_{1x}$)
$f'_{lx}=\cfrac{1}{2\pi}\cfrac{\partial}{\partial f_{1x}}\phi$

$=\cfrac{\delta_1 \lambda \triangle z}{\delta_2}f_{1x}$

$f_{1x}=±\cfrac{1}{2\delta_1}$인 공가 주파수 grid의 edge에서 최댓값을 가진다. Nyquist sampling 기준을 적용하면

• $\delta_{f1}=\cfrac{1}{N\delta_1}$

$\cfrac{\lambda \triangle z}{2\delta_2}\le\cfrac{1}{2\delta_{f1}}=\cfrac{N\delta_1}{2}$

$N\ge\cfrac{\lambda\triangle z}{\delta_1\delta_2}$

---

3.2.1 sampling constraint

1. $\delta_2 \ge -\cfrac{D_2}{D_1}\delta_1+\cfrac{\lambda\triangle z}{D_1}$

2. $N\ge \cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2}{2\delta_2}+\cfrac{\lambda \triangle z}{2\delta_1\delta_2}$

3. $(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1-\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})\le\delta_2\le(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1+\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})$

4. $N\ge\cfrac{\lambda \triangle z }{\delta_1\delta_2}$

---

3.2.2 angular spectrum propagation simulation

parameter	value
$D_1$	2mm
$D_2$	4mm
$\lambda$	1μm
$\triangle z$	0.1m

위 조건을 가지고 가능한 조합인 ($\delta_1$, $\delta_2$)을 찾고
이 때 필요한 $N$ grid points 갯수를 구한다.

constraints 1,3,4

• $\delta_2 \ge -\cfrac{D_2}{D_1}\delta_1+\cfrac{\lambda\triangle z}{D_1}$
  dash-dot line으로 상한에 대한 그래프
  $\delta_2$를 고려할 때 해당 조건이 더 제한적이다.
• $(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1-\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})\le\delta_2\le(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1+\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})$
  - dashed line은 거의 안보이는데, 왼쪽 위 코너에 잇다.
• $N\ge\cfrac{\lambda \triangle z }{\delta_1\delta_2}$
  - 검은 실선으로 $log_2N$의 하한을 등고선으로 표현
  

따라서, contour plot에서 보다시피 임의로 $\delta_1=9.48\mu m, \delta_2=28.12\mu m$로 선택하면, 최소 grid point $N$은 $2^{8.55}$보다 커야한다. 하지만 실제로는 $2^N$으로 구해야 FFT 알고리즘에 이점이 있기 때문 $2^9=512$이다.

근데 결과적으로 constraint4가 constrain2보다 더 엄격하기 때문에, 위의 plot으로만 선택할 수 있다.

constraints 1,2,3

• $\delta_2 \ge -\cfrac{D_2}{D_1}\delta_1+\cfrac{\lambda\triangle z}{D_1}$
• $(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1-\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})\le\delta_2\le(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1+\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})$
• $N\ge \cfrac{D_1}{2\delta_1}+\cfrac{D_2}{2\delta_2}+\cfrac{\lambda \triangle z}{2\delta_1\delta_2}$
  
  여기서는 $\delta_1=9.48\mu m, \delta_2=28.12\mu m$로 선택하면, 최소 $N$은 $2^{8.51}$이다.

3.2.4 square aperture의 ang_spec_prop

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4. General guideline

좀 더 일반적으로 공식화하면 constraint 4가 constraint 1과 2의 조합보다 훨씬 더 제한적인 조건이다. 따라서 plot a로만으로 분석가능하다.
constraint 2와 3은 간단한 선형 부등식인데,

4.1 $\cfrac{D_2}{D_1} < 1+\cfrac{\triangle z}{R}$

• $(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1-\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})\le\delta_2$은 고려요소가 아니다. 같은 $\delta_2$ 절편과 constraint 2보다 더 큰 기울기를 가지기 때문이다.
• $\delta_2 \le(1+\cfrac{\triangle z}{R}\delta_1+\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1})$

$\delta_2$ 절편이 물리적으로 의미가 없기 때문에 무시하고, 대신 $\delta_1$ 절편($\cfrac{\lambda z}{D_1(1+\frac{\triangle z}{R})}$)에 집중한다.
(b)의 그래프는 constraint3의 하한이 의미 없기 때문에, 결국 (b) 그래프처럼 되게 만들어주면 좋은데, 아래 부등식만 이 의미있고 constraint 3는 의미가 없어진다.

$\cfrac{\lambda \triangle z}{D_2}<\cfrac{\lambda \triangle z}{D_1(1+\frac{\triangle z}{R})}$

$1+\cfrac{\triangle z}{R}<\cfrac{D_2}{D_1}$

또한 작은 경우는 constraint3의 모든 하한이 포함된다.

$D_1(1+\cfrac{\triangle z}{R})<D_2$
$\cfrac{\triangle z}{R}=tan\ \theta_{div}$
흥미롭게 물리학적 해석하면 기하학적 빔은 $D_2$ 지름 영역 내에 포함된다. 이에는 observation 평면 앞과 뒤에 초점을 맞춘 발산하는 source field와 수렴하는 source field를 포함한다.
sampling constraint 조건에 대한 이 분석은 파동광학 시뮬레이션을 위한 guideline으로 사용되어야 하지만, 절대적인 규칙으로 사용되어서는 안 된다.
이 장에서 가장 중요한 교훈은 푸리에 광학에서 보편적으로 사용되는 2차 phase 인자가 수치적 평가에 큰 도전을 제기하므로 시뮬레이션을 신중하게 접근하고 완전히 검증해야 한다.
1. 알려진 해석적 solution이 없는 푸리에 광학 전파 문제를 시뮬레이션하려고 할 때는 propagation grids를 선택하는 일반적인 guideline으로 sampling을 먼저 고려해야 합니다.
2. 유사한 문제를 통해 시뮬레이션 설정의 정확성을 검증해야 합니다.
3. 이러한 이유로 이 책은 square aperture 문제를 많이 사용.