[2] 통계 기초

1. 통계학 기초

(1) 기댓값과 분산

확률분포(probability distribution)는 미래 어떤 사건이 발생할 수 있는 가능성을 확률로 나타낸 분포를 말한다.

• $E(X) = \sum_{i=1}^n x_iP_i$
• $V(X) = \sum_{i=1}^n [x_i-E(X)]^2\cdot P_i$
• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

이하 기본적인 결합과 변환은 생략...

(2) 공분산

공분산(covariance)은 두 개의 확률변수의 결합 확률분포의 분산을 말한다.

$Cov(X,Y)$
$= \sum_{i=1}^n \{x_i-E(X)\}\{y_i-E(Y)\}\cdot P_i$
$= E\left[\{X-E(X)\}\{Y-E(Y)\}\right]$

(3) 표본 추정치

실제로 수익률의 분포는 모든 관측치가 동일하고 독립적인 분포를 따른다는 가정하에서 과거 자료로부터 추정된다.

• $\hat{\mu}=\frac{1}{T} \sum_{i=1}^T x_i$
• $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{T-1} \sum_{i=1}^T (x_i-\hat{\mu})^2$

일반적으로 짧은 기간을 기준으로 리스크를 측정하는 경우 평균 또는 기대수익률은 0에 가깝기 때문에 무시한다.

(4) 정규분포

연속확률분포 중 하나로 수집된 자료의 분포를 근사하는데 자주 사용된다. 이는 중심극한정리에 의해 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질 때문이다. $N(\mu, \sigma^2)$로 표기하며, $N(0,1)$은 표준정규분포이다.

1) Probability Density Function

2) Cumulative Distribution Function

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출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/정규_분포

2. 수익률 계산

• 이산 복리수익률 : $R_t=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$
• 연속 복리수익률 : $r_t = \log P_t-\log P_{t-1}$

연속 복리수익률은 시계열적 합산이 편하다. 또한 연속 복리 수익률이 정규분포를 따르면 가격이 결코 음수가 되지 않는다.

3. 평균과 표준편차의 기간별 합산

관심있는 구간과 위험이 측정되는 단위구간이 상이할 경우 주어진 자료로 부터 원하는 구간의 평균과 표준편차를 구하는 방법에 대해 생각해보자. 이를 위해선 수익률이 시계열적으로 독립적이고 동일한 분포(Independent and Identically Distributed)를 따른다고 하자. 즉, 평균과 표준편차는 시간에 따라 변하지 않으며 시계열 상관계수는 0이라는 가정이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

• $E[r_t(k)] = E[r_t]+E[r_{t-1}]+\cdots+E[r_{t-K+1}]=k\times E[r]$
• $V(r_t(k)) = V(r_t)+V(r_{t-1})+\cdots+V(r_{t-K+1})=k\times V(r)$
• $\sigma(r_t(k))= \sqrt{k}\times \sigma(r)$

즉, 기대수익률($\mu$)과 분산($\sigma^2$)은 시간($T$)에 선형적으로 증가하는 관계다. 그러므로 변동성($\sigma$)은 시간의 제곱근($\sqrt{T}$)에 선형적으로 증가하지만 다음을 주의해야 한다.

• 수익률 분포의 IID를 가정했지만 실상은 수익률 분포는 독립적이지 않으며 변동성의 군집현상이 일어난다.
• 시간의 제곱근으로 계산된 변동성은 실제와 큰 괴리가 있을 수 있다.

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마치며

연속 복리수익률이 정규분포를 따를 때 가격이 음수가 되지 않는다는 내용에 대해 찾아봤지만 아직 잘 모르겠다. 그 외 더 자세한 통계학 내용은 응용계량경제학_statistics_review를 정리해서 또 작성해볼까 싶다. 확률분포에 대한 얘기가 계속 나오기 때문에...
다음엔 VaR 측정에 대해 작성해보겠다.

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