[2025-1학기] 선형대수학 - 여러가지 행렬

1. 대각행렬

주대각선 성분 이외의 모든 성분이 0인 정방행렬을 대각행렬(Diagonal Matrix)라고 한다.

• 두 대각행렬의 곱도 대각행렬이다.

• 두 행렬의 곱에서 어느 한 행렬이 대각행렬이면, 두 행렬의 곱은 각 행이나 각 열의 배수로 바뀐다.

• 대각행렬이 정칙이기 위한 필요 충분 조건은 대각선 상의 모든 성분이 0이 아닌 것이고, 대각행렬의 역행렬은 대각행렬이다.

2. 삼각행렬

상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)은 주대각선 아래가 전부 0인 정방행렬을 말한다. 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)는 주대각선 위가 전부 0인 정방행렬을 의미한다.

참고로, 대각행렬은 상삼각행렬인 동시에 하삼각행렬이다.

• A, B가 상(하)삼각행렬이면 AB도 상(하)상하삼각행렬이다.

• 상(하)삼각행렬이 정칙이기 위한 필요 충분 조건은 대각선 상의 모든 성분이 0이 아닌 것이다.

• 정칙 상(하)삼각행렬의 역행렬은 상(하)삼각행렬이다.

3. 전치행렬

m × n 행렬 A에서 행과 열을 바꾸어 놓아 만들어진 행렬을 A의 전치행렬(Transposed Matrix)라고 한다. 기호로는 $A^{T}$라고 나타낸다.

1번의 경우, 행이 2번 바뀌니까 동일할 수 밖에 없다.

4. 대칭행렬

정방행렬 A에 대하여 A = $A^{T}$일 때, A를 대칭행렬(Symmetric Matrix)라고 한다.

대칭행렬이 역행렬을 가진다고 했을 때 역행렬도 대칭이다. 다만 일반적으로 대칭행렬의 곱읍 항상 대칭행렬이 되지 않는다. $(AB)^{T}$ = $B^{T}A^{T}$=$BA$지만, 항상 BA는 AB가 아니기 때문이다. 이 부분을 유의해야 한다.

2번의 경우, 행렬의 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.