1. 특성 방정식
2. 대수적 중복도
고유값을 구했을 때 어떤 고유값이 한 번만 나올 수도 있고 여러 번 반복될 수도 있다. 여기서 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity)는 그 고유값이 몇 번 나왔는지를 말한다.
특성 방정식을 계산할 때 Sarrus 법칙이나 여인수 전개를 사용하는 것도 좋은 방법이지만, 기본행 연산을 사용하여 사다리꼴 행렬로 만들고 대각 원소의 곱으로 특성 방정식을 구하는 것도 유용하다.
3. 기하학적 중복도
n차 정방행렬 A의 각 고유값에 해당하는 고유벡터가 이루고 있는 고유공간의 차원을 그 고유값의 기하학적 중복도(Geometric Multiplicity)라고 한다. 다르게 말하면 그 고유값에 대해 나오는 서로 다른 방향의 고유벡터가 몇 개인지를 묻는 것과 동일하다.
여기서 기하학적 중복도는 대수적 중복도보다 작거나 같다. 즉, 고유값이 여러 번 나왔더라도 고유 벡터는 그 이하까지 나올 수 밖에 없다.
3-1. 기하학적 중복도 계산
어떤 고유값 𝜆의 기하학적 중복도는 고유값 λ에 해당하는 고유벡터가 몇 개나 독립적으로 존재하느냐와 같다. 이걸 계산하기 위해서 반드시 고유 공간의 기저를 구하는 것이 필수적인 것은 아니다. 아래의 성질을 이용할 수 있다.
이는 랭크 - 영차원 정리를 이용한 것이다.
4. 닮음
닮은 행렬은 같은 선형 변환을 서로 다른 기저에서 표현한 행렬들을 말한다. , 기저만 다를 뿐 하는 일은 똑같은 행렬을 의미한다.
두 행렬 A와 B가 어떤 행렬 P를 사이에 두고 서로 변신 가능한 관계라면 얘네는 같은 역할을 하는 친구들이라고 칭하면서 닮았다고 부를 수 있다. A를 위의 식처럼 바꾸는 과정을 닮은 변환(Similiarity Transformation)이라 부른다.
닮은 행렬은 고유값과 고유공간 차원은 같지만, 고유벡터는 기저에 따라 다를 수 있다.
