중요한 질문

대칭행렬이 도대체 무엇인가?(이게 뭐라고 이런 대단한 일[스펙트럴정리]이 일어나는가)라는 질문에서 출발합니다.

대칭행렬의 정의는 매우 간단합니다. 그런데, 행렬이 대칭행렬인게 (그것이 표현하고 있는) 선형변환의 관점에서 도대체 무슨 의미인지에는 그 정의가 말해주는 것이 없습니다. 그러니깐, 이런 의미입니다.

$[T]_\beta$가 대칭행렬이고, $[T]_\gamma$는 대칭행렬이 아닌 경우가 있습니다. (사실, 임의의 기저$\gamma$에 대해서 $[T]_\gamma$는 almost surely 대칭이 아니게 되죠.)

예를들어서, 어떤 기저를 선택해서 선형변환$T:V\to V$을 행렬$[T]_\beta$로 표현하더라도 행렬의 대각합이나 행렬식은 일정하기 때문에, 대각합과 행렬식은 선형변환의 특성임을 바로 알 수 있습니다. 즉, 우리는 선형변환의 행렬식이라는 용어나 선형변환의 대각합이라는 용어를 자유롭게 사용할 수있습니다.

아래 (행렬식과 대각합)의 정의는 기저선택에 의존하지 않습니다.

$\text{det} (T) := \text{det}([T]_\beta),\quad \beta는 V의 순서기저$
$\text{trace} (T) := \text{trace}([T]_\beta),\quad \beta는 V의 순서기저$

그럼 도대체 선형변환의 관점에서 대칭행렬이 의미는 무엇인가요?

대칭행렬과 닮은 행렬이 다시 대칭행렬이라는 보장이 전혀 없기 때문에 (어떤 선형변환을 표현한) 행렬이 대칭 사실이 그 선형변환에 대해서 별로 말해주는 것이 없는 것처럼 보입니다.

즉, 우리는 선형변환 $T$가 대칭이다. 이런 말을 자유롭게 사용 할 수 없습니다.

대칭행렬의 의미:

대칭행렬은 그 이름에서 알 수 있듯이 대칭적인 특징을 가지는 행렬입니다. 실제로 어떤 행렬이 대칭행렬인지 알기 위해서는 그 행렬이 자신의 전치행렬(행과 열을 바꾼 행렬)과 동일한지 확인하면 됩니다.

하지만, 대칭행렬의 정의를 조금 더 깊게 파헤쳐본다면 재미있는 성질이 하나 나옵니다.

$n \times n$의 스칼라를 성분으로 하는 행렬 $A$와 벡터공간 $V=\mathbb{R}^n$에대해, 임의의 두 벡터 $\bold x$와 $\bold y$가 주어졌을 때, 대칭행렬의 중요한 성질은 다음과 같습니다:

$A \text{는 대칭행렬} \iff \bold x^\top A \bold y = \bold y^\top A \bold x, \ \forall \bold x, \bold y \in V$

이제 행렬 $A$에 대해 함수 $B(\bold x,\bold y)$를 정의해봅시다:

$B(\bold x,\bold y) = \bold x^\top A \bold y$
함수 값이 스칼라임을 꼭 이해하고 넘어가주세요.

$A$가 대칭행렬이면, ($\bold x^\top A \bold y$와 $\bold y^\top A \bold x$가 언제나 동일하므로) $B(\bold x,\bold y)$가 대칭 함수($B(x,y)=B(y,x)$)가 됩니다. 다시 말해, 함수의 입력값들을 교환해도 함수의 출력값은 동일하게 됩니다. 그리고 $B(\bold x,\bold y) = \bold x^\top A \bold y$가 대칭함수이면, $A$는 대칭행렬입니다.

요약하자면, 대칭행렬은 두 벡터 간의 대칭적인 연산(예를 들어, 실수 벡터공간의 내적)을 의미합니다. 더 자세한 내용은 이차형식(Quadratic form) 또는 쌍선형형식(Bilinear form)이라는 키워드로 찾아볼 수 있습니다.

내적의 의미

이 소문단에서는 스칼라 필드를 $\mathbb{R}$로 한정 하겠습니다.

내적은 그 공간의 기하학적 구조와 밀접한 관련이 있으며, 내적은 벡터 공간의 각도와 길이의 개념을 포착합니다. 이렇게 볼 때, 내적의 중요성이 확연히 드러납니다. 내적은 (정의에 의해서) 대칭성을 가지고 있기 때문에, 반드시 대칭행렬로 표현이 가능합니다. 예를들어서, 유클리드 내적 $\langle \bold x, \bold y \rangle$의 경우 단위행렬을 사용해서 $\bold x^\top I \bold y=\bold x^\top \bold y$으로 표현됩니다.

대칭행렬의 성질과 내적 간의 관계를 이해하는 것은 선형대수학의 중요한 부분입니다. 그리고 대칭행렬이 내적과 밀접한 관련이 있기 때문에, 선형대수학에서 대칭행렬의 의미를 이해하려면 내적의 개념을 깊게 이해하는 것이 필수적입니다.

정규직교기저

유클리드 벡터 공간의 표준기저를 시작으로 정규직교기저의 개념을 접근하는 것은 합리적이며 직관적입니다. 그렇게 하면, 복잡한 수학적 개념도 좀 더 직관적으로 이해할 수 있게 됩니다. 다시말해서, 이 문단에서는, 유클리드 내적을 상정합니다.

표준기저와 정규직교기저

먼저, $\mathbb{R}^n$에서의 표준기저는 다음과 같이 주어집니다:
$\bold e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \ \bold e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \ \ldots, \ \bold e_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$

이 표준기저에 대한 두 가지 주요한 성질이 있습니다:

1. 정규성: 각 기저의 크기가 1입니다. 즉, $||e_i|| = 1$입니다.
2. 직교성: 서로 다른 두 기저는 직교합니다. 즉, $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ (여기서 $i \neq j$)입니다.

이러한 성질로 인해 표준기저는 정규직교합니다. 이는 각 기저가 서로 직교하며, 각각의 크기가 1이라는 것을 의미합니다.

정규직교기저는 내적벡터 공간에 대한 기저의 특별한 형태로서, 기저의 모든 벡터들이 다음 두 성질을 만족할 때 그렇게 불립니다:
1. 정규성 (Normalization): 각 기저 벡터의 크기가 1입니다.
2. 직교성 (Orthogonality): 서로 다른 두 기저 벡터는 직교합니다.
수학적으로, 벡터 공간 $V$의 정규직교기저 $\{ \bold v_1,\bold v_2, ...,\bold v_n \}$는 다음의 성질을 만족합니다:
1. 정규성: 각 $\bold v_i$에 대해서, $||\bold v_i|| = 1$(즉, 각 벡터의 길이는 1입니다).
2. 직교성: $i \neq j$인 모든 $i, j$에 대해서, $\langle \bold v_i , \bold v_j \rangle = 0$ (즉, 서로 다른 두 벡터의 내적은 0입니다).
이런 성질을 가진 기저를 가지면, 벡터 공간의 각 요소를 명확하고 효율적으로 표현할 수 있습니다.

정규직교기저의 중요성

표준기저는 정규직교하는 가장 간단한 예시입니다. 그러나 벡터 공간 내에는 표준기저 외에도 다양한 정규직교기저가 존재할 수 있습니다.

정규직교기저를 가지면, 벡터들 간의 연산이나 변환, 투영 등의 연산이 훨씬 간편하고 직관적으로 이루어질 수 있습니다. 내적, 직교 투영, 그리고 그람-슈미트 직교화 과정과 같은 여러 유용한 알고리즘과 기법들이 정규직교기저의 성질을 활용하게 됩니다.

결론적으로, 정규직교기저의 개념을 통해 우리는 선형대수학에서의 다양한 문제와 연산을 보다 효율적이고 직관적으로 이해하고 해결할 수 있게 됩니다.

---

스펙트럴 정리:

이제 스펙트럴 정리에 대해 소개합니다. 여러분은 대칭행렬과 정규직교기저가 무엇인지 그리고 행렬의 대각화가 무엇인지 이미 알고 있으므로, 이를 바탕으로 스펙트럴 정리의 뜻을 이해할 수 있을 것입니다.

스펙트럴 정리의 주요 내용:

스펙트럴 정리는 크게 두 부분으로 나뉩니다:
1. 어떤 실수 대칭행렬에 대해서도, 그 행렬의 고유값은 모두 실수이다.
2. 실수 대칭행렬의 고유벡터들은 서로 직교한다.

더 구체적으로, $A$를 $n \times n$ 실수 대칭행렬이라 할 때, 다음의 성질이 성립한다:

1. $A$의 모든 고유값은 실수이다.
2. $A$의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 직교한다.

이런 성질로 인해, 실수 대칭행렬 $A$는 고유벡터들로 이루어진 정규직교기저를 가질 수 있고, 이 기저는 $A$를 직교 대각화할 수 있다는 것을 의미합니다.

스펙트럴 정리와 대각화:

선형 변환의 대각화 관점에서 본다면, 스펙트럴 정리는 실수 대칭행렬로 표현되는 대각화를 제공합니다.

$A = QΛQ^T$

여기서:

• $A$는 실수 성분의 대칭 행렬입니다.
• $Q$는 $A$의 고유벡터들로 구성된 정규 직교 행렬입니다.
  (즉, $Q$를 구성하는 열들을 모은 집합이 정규 직교 기저입니다.)
• $Λ$는 $A$의 고유값들로 이루어진 대각 행렬입니다.
• $Q^T$는 $Q$의 전치 행렬입니다. 그리고, $Q Q^\top = Q^\top Q = I$입니다.

이 표현은 $A$가 직교 행렬 $Q$로 대각화될 수 있음을 나타냅니다. 대칭 행렬의 대각화의 핵심적인 점은 직교 행렬을 사용하는 것입니다, 이로 인해 많은 계산이 효율적으로 이루어질 수 있습니다.

예를 들어, 행렬 $A$의 제곱을 계산하려면, $A^2 = (QΛQ^T)(QΛQ^T) = QΛ^2Q^T$와 같이 간단하게 나타낼 수 있습니다.

스펙트럴 정리 덕분에, 대칭 행렬에 대한 고유값 분해는 계산적으로 많은 이점을 제공합니다.

이런 성질로 인해, 대칭행렬의 경우에는 그것과 관련한 행렬 연산을 특히 단순하고 효과적으로 다룰 수 있게 됩니다.

결론:

스펙트럴 정리는 대칭행렬의 중요한 성질을 포착하며, 이를 통해 대칭행렬의 구조와 성질을 깊게 이해할 수 있게 됩니다. 스펙트럴 정리의 성질을 이해하는 것은 선형 대수학의 중요한 부분이며, 특히 선형 변환의 특징과 그것이 어떻게 행렬로 표현되는지를 이해하는데 중요한 역할을 합니다.