쌍선형형식과 행렬

쌍선형형식의 정의

두 벡터 $\bold v, \bold w\in V$를 입력받아서, 스칼라를 출력하는 함수 $\varphi(\bold v,\bold w)$가 다음 조건을 만족하면 쌍선형형식(bilinear form)이라 부릅니다.

• $\varphi(\alpha \bold v_1 + \bold v_2,\bold w )=\alpha \varphi(\bold v_1,\bold w)+ \varphi(\bold v_2,\bold w)$
• $\varphi(\bold v ,\alpha \bold w_1 + \bold w_2)=\alpha \varphi(\bold v,\bold w_1)+ \varphi(\bold v,\bold w_2)$

쌍선형형식의 행렬표현

기저 $\{\bold e_1,\ldots,\bold e_n\}$에 대해서, 쌍 선형형식 $\varphi:V\times V\to K$는 다음과 같이 표현됩니다.

$\varphi(\bold x, \bold y)=\sum_{i,j=1}^n \varphi_{ij} x^iy^i$, 여기서
$x^i$는 $\bold x$의 좌표, $y^i$는 $\bold x$의 좌표를 뜻하며 다음을 만족합니다. ($x^i$, $y^i$는 $i$ 거듭제곱 아니라 $i$번째 스칼라라는 의미입니다. 윗첨자를 굳이 쓰는 이유는 기저에 따라 표현을 변환하는 공식을 외우기 쉽게 하기 위해서 입니다)
$\bold x = \sum_{i=1}^n x^i\bold e_i$ 그리고 $\bold y = \sum_{i=1}^n y^i\bold e_i$ 그리고 $\varphi_{ij}=\varphi(\bold e_i,\bold e_j)$.

우리는 $\phi_{ij}$를 $\phi$의 행렬표현이라 부릅니다.

Change of basis on $V$

만약 $V$의 다른 기저 $\{\bold b_1,\ldots,\bold b_n\}$가 존재해서, 다음을 만족한다고 합시다.

$\bold b_i = \sum_{i,j=1}^n P_{i}^j \bold e_j$ 여기서, $P_i^j$는 기저변환(또는 좌표변환) 행렬 $P$의 $i,j$성분입니다.

1. $\bold x = \sum_{i=1}^n x^i\bold e_i$를 가정하면, $\bold x = \sum_{i=1}^n x^i\bold b_i$은 당연히 성립안합니다. 왜냐하면, scalar $x_i$가 기저 선택에 의존하며 변하기 때문입니다. 따라서 편의상, $x^i$대신 $[\bold x]_\epsilon^i$ 또는 $[\bold x]_\beta^i$라 적겠습니다. 여기서, $\epsilon$ 그리고 $\beta$는 순서기저를 뜻하고 $[\bold x]_\epsilon^i$ 또는 $[\bold x]_\beta^i$는 벡터의 좌표표현(즉 열벡터)의 $i$번째 성분을 의미합니다. 따라서,
   $\bold x = \sum_{i=1}^n [\bold x]_\epsilon^i \bold e_i = \sum_{i=1}^n [\bold x]_\beta^i \bold b_i$

2. $[\bold x]_\epsilon$을 $[\bold x]_\beta$로 변환하는 수식이 어떻게 될까요? 결론부터 말하면 기저변환행렬 $P_i^j$의 역행렬로 주어집니다. 그 이유는 기저 $\epsilon$을 기저 $\beta$로 바꾸는 규칙 $P_i^j$가 사실, $\beta$의 각 원소를 $\epsilon$을 기준으로 어떻게 기술되는지 보여주고 있기 때문입니다. (즉, 행렬 $P$가 좌표변환 $\beta\to \epsilon$에 해당하는 것이고, 그러므로 좌표변환 $\epsilon\to \beta$를 얻고 싶으면 $P$의 역행렬을 구해야 겠지요.)

• 관찰 $[\bold x]_\epsilon = P[\bold x]_\beta$ (좌우변의 $\bold x$ 대신 $\sum_{i,j=1}^n P_{i}^j \bold e_j$와 $\bold b_i$을 각각 대입해서 유도)
• 결론 $[\bold x]_\beta = P^{-1}[\bold x]_\epsilon$ 또는 $[\bold x]_\beta^i = (P^{-1})_{j}^i [\bold x]_\epsilon^j$

3. 우리는 $\varphi$의 좌표 $\varphi_{ij}$도 기저에 의해서 바뀌는 것을 알고 있습니다. 다음이 성립합니다. (기저변환 식들과, 구체적으로 $\bold b_i = \sum_{i,k=1}^n P_{i}^k \bold e_k$ 그리고 $\bold b_j = \sum_{j,l=1}^n P_{j}^l \bold e_l$ 대입 후, 쌍선형성을 이용해서 유도합니다.)
   $\varphi(\bold b_i,\bold b_j)=\sum_{k,l=1}^n P_{i}^k P_{j}^l \varphi(\bold e_k,\bold e_l)$

행렬 $P^{-1}$을 계산하지 않아도 됩니다. 즉, 2.의 좌표변환$[\bold x]_\epsilon\to [\bold x]_\beta$을 수행할때랑 다르죠. (그냥 관찰만 합시다.) 핵심은, $V$에서 $V$로 가는 기저변환의 언어로 좌표벡터(또는 열벡터표현) 또는 쌍선형형식의 행렬표현이 바뀌는 규칙을 기술 할 수 있다는 것입니다.

4. $\varphi(\bold b_i,\bold b_j)$ 그리고 $\varphi(\bold e_i,\bold e_j)$를 각각 행렬 $\varPhi_{\beta}$, $\varPhi_\epsilon$라 표기합시다. 위의 수식을 행렬로 변환하면, 다음이 유도됩니다.

$\varPhi_\beta = P \varPhi_\epsilon P^\top$ 여기서, $P_i^j$는 행렬 $P$의 $i,j$성분입니다.

이 사실에 대한 더 자연스러운 해석을 위해서는 듀얼공간에 대한 논의가 필요합니다. 이 포스트 마지막 부분에 Dual map의 의미를 적어두었습니다.

중요한 관찰들

쌍선형형식과 벡터 공간

쌍선형형식 $\phi:V\times V \to K$에 대한 집합$\{\phi:V\times V \to K: \phi \ \text{is a bilinear form}\}$은 자연스럽게 스칼라 filed의 연산을 상속하여 벡터 공간으로 볼 수 있습니다. 이는 스칼라에 의한 덧셈과 곱셈을 이용해서, 쌍선형형식의 덧셈과 스칼라배를 정의할 수 있기 때문입니다.

이 연산들을 정의하기 위해서 두 개의 쌍선형형식 $\varphi_1$ 및 $\varphi_2$를 생각해 보겠습니다. 그리고 이 연산들은 임의의 벡터들 $\bold v$ 및 $\bold w$와 임의의 스칼라 $c$에 대하여 정의됩니다.

1. 쌍선형형식의 덧셈:
   두 쌍선형형식 $\varphi_1$ 및 $\varphi_2$의 합은 새로운 쌍선형형식으로, 다음과 같이 정의됩니다:
   $(\varphi_1 + \varphi_2)(\bold v, \bold w) = \varphi_1(\bold v, \bold w) + \varphi_2(\bold v, \bold w)$

2. 스칼라와 쌍선형형식의 곱:
   스칼라 $c$와 쌍선형형식 $\varphi$의 곱은 다음과 같이 정의됩니다:
   $(c \cdot \varphi)(\bold v, \bold w) = c \cdot\varphi(\bold v, \bold w)$

이 두 연산은 벡터 공간에 대한 기본 연산들과 동일하게 동작하므로, 쌍선형형식의 집합은 벡터 공간으로 간주될 수 있습니다. 이 벡터 공간은 주어진 벡터 공간 $V$의 차원이 $n$일 때, $n \times n$ 차원이 됩니다.그리고 이 벡터공간의 0 벡터는 쌍선형형식 중에서 항상 스칼라 0을 반환하는 함수입니다.

쌍선형형식과 선형변환

쌍선형형식과 선형변환 간의 관계를 더 자세하게 이해하려면 벡터 공간과 그 듀얼 공간의 관계부터 시작해야 합니다.

듀얼 공간 (Dual Space):

벡터 공간 $V$의 듀얼 공간 $V^*$는 $V$의 각 벡터를 스칼라에 대응시키는 모든 선형 함수들의 집합입니다. 수학적으로, $V^* = \{f: V \to K | f \text{는 선형 함수}\}$로 정의됩니다. 여기서 $K$는 기본 스칼라 필드입니다.

예를 들면, 유한한 차원의 벡터 공간 $V$의 기저가 $\{v_1, \ldots, v_n\}$이라면, 듀얼 공간 $V^*$의 기저는 $\{f_1, \ldots, f_n\}$으로 표현되며, 각 $f_i$는 $v_i$에 1을, 다른 모든 벡터$v_j, j\ne i$를 0을 대응시키는 선형함수입니다.

기저의 성질과 $f_i$의 선형성에 의하여 우리는 일반적인 벡터 $w \in V$에 대해서 $f_i(w)$를 정확하게 알 수 있습니다. 그리고 $f_i$가 $V^*$의 기저를 이룬다는 것이 매우 중요합니다. 꼭 직접 증명하고 넘어가길 추천합니다.

예시 1: 행 벡터와 듀얼 공간

벡터 공간 $V = K^n$을 생각해보겠습니다. 이것은 길이가 $n$인 열 벡터들의 집합입니다. $V$의 듀얼 공간 $V^*$는 $V$의 벡터를 스칼라에 매핑하는 모든 선형 함수의 집합입니다.

행 벡터 $\phi$를 $V^*$의 원소로 생각할 때, $V$의 임의의 벡터 $v$에 대해, $\phi$와 $v$의 행렬곱셈을 통해 스칼라를 얻을 수 있습니다. 이렇게 행 벡터는 벡터를 스칼라에 매핑하는 선형 함수로서의 역할을 합니다. 수학적으로, $\phi$가 $K^n$의 행 벡터이고 $v$가 $K^n$의 열 벡터일 때, 행렬곱 $\phi v$는 스칼라 값입니다. 이는 우리가 행 벡터를 $V^*$의 원소로 간주하는 이유입니다.

예시 2: 연속 함수와 듀얼 공간

$V$을 구간 $[a,b]$에서 연속인 실수 또는 복소수 값을 가지는 함수들의 공간이라고 합시다. 이제 $V$의 어떤 함수 $x(t)$에 대해 다음과 같이 정의된 선형 함수를 생각해봅니다:

$f_{\phi}(x) = \int_{a}^{b} \phi(t)x(t)dt$

여기서 $\phi(t)$는 $V$ 안의 고정된 함수입니다. 위의 선형 함수 $f_{\phi}(x)$는 $V$의 벡터를 스칼라에 대응시키므로 $V^*$의 원소입니다. 그러나 $\phi(t)$에 대해 이와 같은 선형 함수를 정의하는 방법으로는, $V^*$의 모든 원소를 얻을 수는 없습니다. 예를 들어, 구간 $[a,b]$ 내의 어떤 고정된 점 $s$를 생각하면, 각 함수 $x(t)$를 그 지점에서의 값 $x(s)$에 대응시키는 매핑은 선형 함수가 되지만, 어떤 함수 $\phi(t)$에 대해서도 위의 형태로 표현될 수 없습니다.

위의 예시를 잘 보면, 일반적으로 $V$는 $V^*$의 차원이 다르다는 (두 기저사이의 1대1대응이 없다) 결론을 얻습니다. 이런 현상은 $V$가 무한차원일 때만 일어나고, 유한차원일때는 $V$와 $V^*$는 항상 차원이 같습니다.

쌍선형형식과 선형 변환:

쌍선형형식 $\varphi: V \times V \to K$는 두 벡터를 스칼라에 대응시키는 함수입니다. 이를 벡터를 듀얼벡터에 대응하는 듀얼 공간의 선형 함수로 간주할 수 있습니다.

이렇게 볼 때, 쌍선형형식의 벡터 공간과 $T: V \to V^*$ 형태의 선형 변환들의 벡터 공간은 동일한 구조와 차원을 가지므로 isomorphic합니다.

특히, $n$차원 벡터 공간 $V$에 대해, 쌍선형형식의 벡터 공간의 차원은 $n \times n$이 됩니다.

증명 스케치, $V$의 임의의 벡터 $x$에 대해, $\varphi(x,\cdot): V \to K$는 $V^*$의 원소 즉 $y\in V$를 $\varphi(x, y)\in K$에 대응 시키는 선형 함수입니다. 즉, 쌍선형형식은 $V$를 $V^*$로 매핑하는 ($x\in V \mapsto \varphi(x,\cdot) \in V^*$) 선형 변환으로 볼 수 있습니다. 이제, 이러한 이러한 선형변환을 $T_\varphi:V \to V^*$라 표기합시다.

$T$를 $V$에서 $V^*$로의 선형 변환이라 합시다, 이 변환은 $V$의 각 벡터 $x$에 $V^*$의 선형 함수 $T(x):V\to K$를 대응시킵니다. 이 함수$T(x):V\to K$는 벡터 $y$에 대해 $T(x)(y)\in K$ 값을 가지며, 우리는 이를 $\varphi_T(x, y)$로 표기합시다.

이제, $\varphi$와 $T_\varphi$ 사이의 대응 관계가 일대일 대응임을 확인합시다.

$\varphi_T$가 쌍선형형식인 것 그리고 $\varphi_T$에 대응하는 선형변환$T_{\varphi_T}$가 $T$인 것을 확인하여 $\varphi \mapsto T_\varphi$가 일대일(injective)인 것을 쉽게 보일 수 있습니다. 그러나 쌍선형형식의 벡터 공간에서 $T: V \to V^*$ 형태의 선형 변환들의 벡터 공간으로의 대응 $\varphi \mapsto T_\varphi$가 onto (surjective)인 것은 비자명합니다. 저는 이것이 두 공간의 차원이 서로 같기 때문에, 일어나는 현상임만을 강조하고 넘어가겠습니다. (그래서, 증명을 위해서는 $V$가 유한차원이라는 조건이 꼭 필요하죠.)

마지막으로, 구성된 매핑 $\varphi \mapsto T_\varphi$가 벡터 공간의 동형사상(isomorphism)임은 완전히 명백합니다. 즉, 이는 $\varphi_1 + \varphi_2 \mapsto T_1 + T_2$와 $\lambda\varphi \mapsto \lambda T_\varphi$ 조건을 만족시킵니다, 여기서 $T_i=T_{\varphi_i}$이고, $\lambda$는 임의의 스칼라입니다.

대칭 쌍선형형식과 이차형식

이차형식은 한 벡터를 입력으로 받아 스칼라를 반환하는 함수입니다. (얘는 선형함수가 아닙니다) 이차형식은 일변량 완전제곱식 $f(x)=ax^2$의 벡터 (또는 다변수) 버전으로 볼 수 있습니다.

이차형식의 정의 쌍선형형식 $\varphi$에 대해서, $\phi(x)=\varphi(x,x)$로 정의된 함수 $\phi:V\to K$를 $V$위에서의 이차형식이라 합니다.

그리고, 이차형식은 대칭 쌍선형 형식으로 표현됩니다.

Charicteristic이 2가 아닌 체 $K$ 위의 벡터공간 $V$에서의 모든 이차형식 $\psi(x)$는 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
$\psi(x) = \phi(x, x)$
여기서 $\phi$는 대칭 쌍선형 형식입니다. 더불어, 주어진 이차형식 $\psi$에 대해 이러한 대칭쌍선형 형식 $\phi$는 유일하게 결정됩니다. (증명은 독자에게 맡깁니다.)
설명 이전 포스트에서 언급한 다음 결과와 그 증명이 완전히 같습니다. 행렬로 표현된 이차형식 $Q$에 대해서, 대칭행렬 $A$가 유일하게 존재해서 다음이 성립합니다.
$Q(\bold x)=\bold x^\top A \bold x, \quad \bold x \in K^n$ (단, $K$의 Charicteristic은 2가 아님)

이 설명은 이차형식이 항상 어떤 대칭 쌍선형 형식의 특별한 경우로 볼 수 있음을 보여줍니다. 이는 이차형식과 쌍선형 형식 사이의 깊은 관계를 나타냅니다.

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Dual Map

선형사상의 Dual은 행렬의 전치랑 대응하는 개념입니다. 왜 그런지, 살펴보겠습니다.

$V$와 $V^{**}$일치시키기

유한차원 벡터공간이라는 조건하에, 우리는 $V$와 $V^{**}$를 완전히 일치시킬 수 있습니다. 그런 점에서, 우리는 다음과 같은 표기를 사용하고자 합니다.

$f,g,h$와 같이 적은 것은 $V^{*}$의 원소들을 뜻합니다. 그리고 $v,w,x,y,z$와 같이 적은 것은 $V$의 원소를 뜻합니다.

$V^{**}$의 원소는 $V$의 원소 $v$를 이용해서 다음과 같이 표기하도록 하겠습니다.
1. $v\in V$에 대해서, $(v,-) \in V^{* *}$는 다음과 같이 정의된다.
$(v,f) = f(v)$
2. 다음이 자명하게 성립합니다.
$(x_1+x_2,f)=(x_1,f)+(x_2,f)$
$(x,f_1+f_2)=(x,f_1)+(x,f_2)$
$(\alpha x,f)=\alpha(x,f)$
$(x,\alpha f)=\alpha(x,f)$
$\forall x \in V, (x,f)=0 \implies f=0$
$\forall f \in V^*, (x,f)=0 \implies x=0$

우리는 쌍선형 형식을 $V$에서 $W=V^*$로 가는 선형함수와 (기저선택에 의존하지 않은 방식으로) 완전히 같은 것으로 여길 수 있습니다. 그리고, (기저선택에 의존하지 않은 방식으로) $V^{**}$는 $V$와 같은 것으로 여길 수 있습니다.

$V$와 $V^{*}$

유한차원 벡터공간이라는 조건하에, 우리는 $V$와 $V^{*}$의 차원이 같음을 알고 있습니다.

그렇다면 $V$와 $V^*$를 어떻게 서로 연결시킬 수 있을까요? 이 연결의 핵심은 기저와 그에 따른 쌍대 기저(dual basis)의 개념입니다.

기저와 쌍대 기저

먼저, $V$의 기저를 $\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$라 하자. 그렇다면 이 기저에 대응하는 $V^*$의 쌍대 기저는 $\{ f^1, f^2, \ldots, f^n \}$로 나타내질 수 있으며, 각각의 함수 $f^i$는 다음의 특성을 갖습니다:

$f^i(v_j) = \delta^i_j$

여기서 $\delta$는 크로네커 델타(Kronecker delta)로, $i$와 $j$가 같을 때 1, 그렇지 않을 때 0을 나타냅니다.

이렇게 정의된 쌍대 기저는 $V$의 각 벡터에 대해 명확하게 하나의 성분을 선택하는 함수의 역할을 합니다.

그러나 주의해야 할 점은, 이 연결은 선택된 기저에 의존적이라는 것입니다. 다른 기저를 선택하면 $V$와 $V^*$의 연결도 달라집니다.

예를들어서, $V$의 기저변환행렬 $P$에 대해서, 다음이 성립하면 (여기서, $P$의 $i,j$성분은 $P_{i}^j$이라 표기합니다.)

$v_i=\sum_{j=1}^n P_{i}^j e_j$ 어떤 행렬 $Q$가 존재해서,

$f^i=\sum_{j=1}^n Q^i_j \epsilon^j$

다음을 만족시킬겁니다. 이때, $Q^i_j$를 $i$,$j$성분으로 하는 행렬은 $P^{-1}$입니다.

유도과정은 아인슈타인표기법을 사용해서, 다음과 같이 보일 수 있습니다.
$\delta^i_j=f^i(v_j)=f^i(P_j^ke_k)=Q^i_l\epsilon^l(P_j^k e_k)=Q^i_lP^l_j$
우변은 $Q^i_l$을 $i,l$ 성분으로 구성한 행렬과 $P^{l}_j$를 $l,j$성분으로 구성한 행렬의 행렬곱과 같고 좌변은 단위행렬의 $i,j$성분과 같으므로 증명이 끝납니다.

Remark $v_i=\sum_{j=1}^n P_{i}^j e_j$를 행렬곱 표현으로 적으면, 다음과 같습니다.
$\begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{1}^1 & P_1^2 & \cdots & P_1^n\\ P_{2}^1 &P_2^2 & \cdots & P_2^n \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ P_{n}^1 &P_n^2 & \cdots & P_n^n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1 \\ \vdots \\ e_n\end{bmatrix}$

그리고 $f^i=\sum_{j=1}^n Q^i_j \epsilon^j$를 행렬곱 표현으로 적으면, 다음과 같습니다.

$\begin{bmatrix}f^1 & f^2 & \ldots & f^n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\epsilon^1 & \epsilon^2 & \ldots & \epsilon^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_{1}^1 & Q_1^2 & \cdots & Q_1^n\\ Q_{2}^1 &Q_2^2 & \cdots & Q_2^n \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ Q_{n}^1 &Q_n^2 & \cdots & Q_n^n \end{bmatrix}$

따라서, $Q^i_j$를 $i$,$j$성분으로 하는 행렬은 $P^{-1}$이므로, (위의 식에 전치를 하여 다음을 유도 할 수 있음)

$\begin{bmatrix}f^1 \\ \vdots \\ f^n\end{bmatrix} = (P^{-1})^\top \begin{bmatrix}\epsilon^1 \\ \vdots \\ \epsilon^n\end{bmatrix}$ 입니다.

Definition of Dual map

$T^*: W^* \to V^*$는 다음과 같이 정의됩니다:

$T^*(g) = g \circ T$

Dual map의 성질

$T^*$에 대한 몇 가지 중요한 성질:

1. 선형성:
   $T^*(\alpha g_1 + g_2) = \alpha T^*(g_1) + T^*(g_2)$

2. $T: V \to W$와 $S: W \to U$가 선형 변환일 때,
   $(ST)^* = T^*S^*$
   즉, 복합 함수의 dual은 각 함수의 dual의 반대 순서로 연결된 것과 같습니다.

3. 항등 변환의 dual은 항등 변환이 됩니다.

Dual map의 행렬표현

공간 $V$에서 $W$으로의 변환 $T$의 행렬 표현$A$가 $V$과 $W$의 임의의 기저에 대해 주어졌다고 합시다. 그리고 듀얼 변환 $T^*: V^* \to W^*$의 행렬 표현 $B$가 $V^*$와 $W^*$의 쌍대 기저에 대해 작성되었다고 합시다. 그러면 이 두 행렬$A$와 $B$는 서로 전치된 관계를 가집니다.

$A=B^\top$

결론

선형변환 $T:V\to V^*$의 행렬표현에 대한 논의입니다. 아래 문단에서 우리는 $V$의 기저와 $V^*$의 기저가 언제나 쌍대를 이루도록 선택합니다. (Like Tensor!)

우리는 쌍선형형식 $\varphi: V\times V \to K$에 대해서, 두 선형함수 $T:V\to V^*$와 $T^{*}:V^* \to V$이 매우 밀접함을 알고 있습니다. (사실 상 우리는 그들 모두를 같은 것으로 보고 있습니다만,) 전자에 대한 행렬표현이 언제나, 후자에 대한 행렬 표현의 전치가 되므로, 달라집니다. 그래서, 둘중 하나를 골라서 설명하고자 합니다. 만약, 쌍선형형식을 선형함수 $T:V\to V^*$로 바라보면, $V$의 기저 $\beta=\{\bold b_i\}$와 $\gamma = \{ \bold c_i\}$와 그들의 관계 $\bold c_i = Q \bold b_i$가 있을 때, $[T]_\beta$와 $[T]_\gamma$의 관계를 관찰하면, 다음과 같을 것입니다. (단, 쌍대공간에 대해서는 대응하는 쌍대기저를 사용해 기저변환하고 쌍대인 것은 $^*$를 사용해 표기)
$[T]_\beta = (V^*\text{좌표변환행렬} \ \gamma^* \to \beta^*) [T]_\gamma (V \text{좌표변환행렬} \ \beta \to \gamma)$ 우리는 기저와 쌍대기저를 관찰하여 그것이 각각 $(Q^{-1})^\top$과 $(Q^{-1})$가 되어야 함을 잘 알고 있습니다. 다시말해서,

$\varPhi_\beta = P \varPhi_\epsilon P^\top$

에서, $P$는 쌍대기저$\epsilon^*,\beta^*$기준으로 본 좌표변환행렬($\epsilon^* \to \beta^*$)이란 의미를 가집니다.

REMARK
여기서, 좌표변환행렬($\epsilon^* \to \beta^*$) $P$는 다음을 만족시킵니다.
기저 $\beta^*$를 $\bold f^1,\ldots,\bold f^n$ 그리고 기저 $\epsilon^*$를 $\bold \epsilon^1,\ldots, \bold \epsilon^n$이라 합시다. 그리고 $V^*$의 원소에 대해서,

$\beta^*$로 구한 좌표를 $f_i$라 하고, $\epsilon^*$로 구한 좌표를 $\epsilon_i$라 하면, 다음이 성립합니다.

• $\begin{bmatrix}f_1 & f_2 & \ldots & f_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\epsilon_1 & \epsilon_2 & \ldots & \epsilon_n\end{bmatrix}P^\top$
• $\begin{bmatrix}f_1 \\ \vdots \\ f_n\end{bmatrix} = P\begin{bmatrix}\epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n\end{bmatrix}$