📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.2 (2.1~2.8)

✅ 2.1 Function (함수)

• 두 집합 $A$, $B$가 주어졌을 때, $A$의 각 원소 $x$에 대해 $B$의 원소 $f(x)$가 어떤 방식으로든 대응되면, $f$는 $A$에서 $B$로의 함수(function) 또는 사상(mapping) 이라고 한다.
• $f$의 정의역(domain): $A$
• $f$의 값(value): $f(x)$
• $f$의 치역(range): $f(A)$ (모든 $f(x)$의 집합) (집합 $A$에 대해서도 함수 $f$를 직접 적용하여 표현할 수 있다!)

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✅ 2.2 Onto(전사) / One-to-One(단사)

Image (상, 이미지)

• $f: A \to B$가 주어졌을 때, $E \subset A$라면
  • $f(E) = \{f(x) \mid x \in E\}$ 를 $E$의 $f$에 의한 상(image) 이라고 한다.
  • 이때 $f(A)$는 $f$의 치역(range)이며 항상 $f(A) \subset B$이다.
  • 만약 $f(A) = B$이면, $f$는 $A$를 $B$로 'onto' (전사) 한다고 한다.

Inverse Image (역상)

• $E \subset B$라면
  • $f^{-1}(E) = \{x \in A \mid f(x) \in E\}$ 를 $E$의 $f$에 의한 원상(inverse image) 이라고 한다.
  • 주의: 이는 $f$가 역함수를 가지는지와 무관하게 정의된다.

One-to-One Mapping (단사)

• 모든 $y \in B$에 대해 $f^{-1}(y)$가 $A$의 원소를 최대 하나만 포함하면 $f$는 일대일(one-to-one, 1-1) mapping 이라고 한다.
• 즉, $f(x_1) \ne f(x_2)$ whenever $x_1 \ne x_2$ ($x_1, x_2 \in A$).

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✅ 2.3 Equivalence of Sets (집합의 동치)

• $A$에서 $B$로의 일대일 대응(one-to-one mapping)이 존재한다면, $A$와 $B$는 1-1 'correspondence'가 있다고 하며, 같은 'cardinal number'(기수)를 가진다고 한다.
• 이를 간단히 $A \sim B$ 라고 쓴다.
• 이 관계는 다음 성질들을 만족한다:
  • Reflexive (반사성): $A \sim A$
  • Symmetric (대칭성): $A \sim B$ 이면 $B \sim A$
  • Transitive (추이성): $A \sim B$이고 $B \sim C$이면 $A \sim C$
• 이러한 성질을 갖는 관계를 equivalence relation (동치 관계) 이라고 한다.

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✅ 2.4 Cardinality (기수)

• $n$이 양의 정수일 때, $J_n = \{1, 2, \dots, n\}$
• $J$는 모든 양의 정수(=자연수)의 집합 $\{1, 2, 3, \dots\}$
• 임의의 집합 $A$에 대해 다음과 같이 정의한다:
  • a) Finite (유한 집합): $A \sim J_n$인 $n$이 존재 (공집합도 유한으로 간주)
  • b) Infinite (무한 집합): $A$가 유한이 아닐 때
  • c) Countable (가산 집합): $A \sim J$
  • d) Uncountable (비가산 집합): 유한도 아니고 가산도 아닐 때
  • e) At most countable (가산 이하 집합): 유한 또는 가산일 때
• 💡 Countable set은 enumerable(열거 가능), denumerable(가산 가능)이라고도 불린다.

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✅ 2.5 Example (정수 집합은 가산이다)

• $A$ = 모든 정수들의 집합 $\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}$
• $J$ = $\{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
• $f: J \to A$인 함수를 다음과 같이 명시적으로 정의함으로써, $J$와 $A$가 동치임을 확인할 수 있다 :
  • $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if } n \text{ is even} \\ -\frac{n-1}{2}, & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$
• 💡 따라서 $A$는 가산(countable)이다.

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✅ 2.6 Remark (무한 집합의 특성)

• 유한 집합은 자신의 proper subset(진부분집합)과 동치가 될 수 없다.
• 그러나 무한 집합은 자신의 진부분집합과 동치가 가능하다.
  • ex) Example 2.5에서 $J$는 $A$의 진부분집합이지만 $A \sim J$
• 💡 따라서 Def 2.4(b) 에서 무한 집합의 정의는 다음과 같이 바꿀 수 있다:
  • $A$가 무한이라는 것은 $A$가 자신의 진부분집합과 동치인 경우이다.

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✅ 2.6 Remark (무한 집합의 특성)

• 수열(sequence) 이란, 모든 양의 정수들의 집합 $J$ 위에서 정의된 함수 $f$를 의미한다.
• $f(n) = x_n$ ($n \in J$) 일 때, 수열 $f$는 보통 $\{x_n\}$ 또는 $x_1, x_2, x_3, \dots$ 로 표기한다.
• $f$의 값(value), 즉 $x_n$ 들을 수열의 항(term) 이라고 한다.
• 만약 $A$가 어떤 집합이고, 모든 $n \in J$에 대해 $x_n \in A$라면, $\{x_n\}$를 $A$ 안의 수열(sequence in $A$) 또는 $A$의 원소들로 이루어진 수열 이라고 한다.

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📌 중요 포인트 (Countable set과 수열의 연결)

• 모든 countable set(가산집합)은 $J$ 위에 정의된 일대일 함수의 range(치역)으로 표현 가능하다.
  • 즉, Countable set의 원소들은 '서열화(arranged in a sequence)' 될 수 있다.
• 💡 쉽게 얘기해서, Countable set의 원소들을 수열로 나열할 수 있다 라고 말할 수 있다.

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✅ 참고

• 때로는 편의를 위해 $J$ 대신 $0$ 이상의 정수들의 집합 $\{0, 1, 2, \dots\}$ 을 사용하는 경우도 있다.
  • 이 경우 수열을 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 로 시작한다.

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✅ 2.8 Theorem (가산 집합의 부분집합)

Countable Set(가산집합) $A$의 모든 Infinite Subset(무한 부분집합) $E$는 Countable(가산)이다.

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📝 Proof (증명)

• $A$가 Countable Set이고 $E \subset A$, $E$가 Infinite Set이라고 하자.
• $A$의 원소들을 서로 다른 항으로 나열한 수열 $\{x_n\}$를 생각한다.
• 이제 $E$의 원소들을 다음과 같이 $\{x_n\}$에서 순서대로 찾아 수열 $\{n_k\}$를 구성한다:
  1. $n_1$은 $x_{n_1} \in E$인 가장 작은 $n$.
  2. $n_2$는 $n_1$보다 큰 수 중 $x_{n_2} \in E$인 가장 작은 $n$.
  3. 일반적으로, $n_k$는 $n_{k-1}$보다 큰 수 중 $x_{n_k} \in E$인 가장 작은 $n$.
• 이렇게 하면 $\{f(k) = x_{n_k}\}$ ($k=1,2,3,\dots$)는 $E$의 서로 다른 모든 원소를 포함하는 수열이 되며,
  • 이는 $E$와 $J$ 사이의 일대일 대응(one-to-one correspondence) 을 만들어준다.

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💡 직관적 해석 (중요!!)

• Countable Set(가산집합)은 '가장 작은' Infinite Set(무한집합)이다.
• Uncountable Set(비가산 집합)은 절대 Countable Set(가산집합)의 subset(부분집합)이 될 수 없다.