📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.2 (2.9~2.14)

✅ 2.9 Definition (집합의 모음, Collection of Sets)

• 집합 $A$의 각 원소 $\alpha$에 대해 집합 $\Omega$의 부분집합 $E_\alpha$가 대응된다고 하자.
• 이때 $E_\alpha$ 를 원소로 갖는 집합 $\{E_\alpha\}$는 집합의 집합(set of sets) 이다.
• 이러한 경우 '집합의 모음(collection of sets)' 또는 '집합의 족(family of sets)' 이라고 부른다.
• 즉, set of sets 대신 collection이나 family라는 표현을 사용하여 보다 간결하게 표현할 수 있다.

---

✅ 2.12 Theorem (Countable Set의 Union도 Countable)

Countable sets(가산 집합들)의 수열 $\{E_n\}$ ($n=1,2,3,\dots$)이 주어졌을 때,

은 가산 집합이다.

📝 Proof (증명)

• 각 $E_n$의 원소들을 수열 $\{x_{nk}\}$ ($k=1,2,3,\dots$)로 나열한다.
• 이들을 2차원 배열로 정리하면:
  $\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & \dots \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & \dots \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}$
• 위 배열을 대각선 순서(diagonal order) 로 나열하면:
  $x_{11}, x_{21}, x_{12}, x_{31}, x_{22}, x_{13}, \dots$
• 이 나열은 $S$의 모든 원소를 포함한다.
• 중복 원소가 있다면 제거해도 여전히 $S$는 Countable Set(Theorem 2.8 -> Every infinite subset of a countable set is countable).

---

📌 Corollary

• $A$가 at least countable (가산 이하 집합) 이고,
  $A$의 각 원소 $\alpha$마다 집합 $B_\alpha$가 대응되며,
  이 $B_\alpha$들도 모두 가산 이하 집합이라고 하자.
• 이때 다음과 같은 합집합 $T$ 를 생각한다:
  $T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$
• 즉, $A$의 각 $\alpha$가 갖고 있는 $B_\alpha$들을 모두 모은 집합 $T$이다.
• 결론: $T$ 역시 가산 이하 집합이다.

---

✅ 📌 2.13 Theorem (Countable Set의 원소로 이뤄진 n-tuple의 set도 Countable)

Countable Set(가산 집합) $A$에 대해, $A$의 원소들로 이루어진 $n$-tuple들의 집합 $B_n$을 다음과 같이 정의한다:

여기서 $a_1, \dots, a_n$은 서로 달라도 되고 같아도 된다.
이때 $B_n$ 은 Countable이다.

📝 Proof (증명: 귀납법 사용)

1. $B_1$은 $A$ 자체이므로 countable이다.
2. $B_n$의 원소는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다:
   $(b, a) \text{ where } b \in B_{n-1}, a \in A$
3. $B_{n-1}$가 countable이고, $A$도 countable이므로, 고정된 $b$에 대해 $(b, a)$의 집합은 $A$와 equivalent(동치)이며 countable이다.
4. 따라서 $B_n$은 union of a countable set of countable sets(가산 개수의 가산 집합들의 합집합) 이다.
5. Theorem 2.12에 의해 $B_n$은 가산 집합이다.
6. 귀납법으로 $B_n$이 모든 $n$에 대해 가산임이 성립.

---

📌 Corollary (유리수 집합의 가산성)

모든 유리수들의 집합 $\mathbb{Q}$는 Countable(가산)이다.

이유

• 모든 유리수 $p$는 $\frac{b}{a}$ 의 형태로 나타낼 수 있으며, $a, b$는 정수이다.
• 정수들의 쌍 $(a, b)$의 집합은 $B_2$로 볼 수 있고, 이는 Theorem 2.13에 의해 가산이다.
• 따라서 유리수들의 집합도 가산이다.
  

---

✅ 2.14 Theorem (0과 1로 이뤄진 무한 수열 집합은 uncountable)

0과 1로 이루어진 모든 무한 수열들의 집합 $A$는 uncountable(비가산)이다.

📝 Proof (칸토어의 대각선 논법)

1. $A$가 countable이라고 가정하자.
2. 그러면 $A$의 원소들을 다음과 같이 나열할 수 있다:
   $s_1, s_2, s_3, \dots$
3. 새로운 수열 $s$를 다음과 같이 만든다:
   $\text{만약 } s_n \text{의 } n\text{번째 자릿수가 } 1 \text{이면 } s \text{의 } n\text{번째 자릿수는 } 0, \\ \text{만약 } s_n \text{의 } n\text{번째 자릿수가 } 0 \text{이면 } s \text{의 } n\text{번째 자릿수는 } 1.$
4. 이렇게 만든 $s$는 $s_1, s_2, s_3, \dots$ 중 어느 것과도 적어도 한 자릿수 이상 다르다.
5. 그러나 $s$는 분명 $A$의 원소이므로, $s$는 $A$에 있어야 한다.
6. 이는 $A$가 countable이라는 가정과 모순이다.
7. 따라서 $A$는 uncountable이다.

---

💡 참고: Cantor's Diagonal Process

• 이 증명 방식은 칸토어의 대각선 논법(Cantor's diagonal argument) 이라고 부른다.
• 0과 1로 이루어진 무한 수열을 실수의 이진 표현(binary representation) 으로 해석하면,
  실수 전체 집합이 uncountable이라는 사실이 바로 따라옴을 알 수 있다.