📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.2 (2.15~2.17)

✅ 2.15 Definition (Metric Space, 거리공간)

집합 $X$에 대해, 모든 두 점 $p, q \in X$에 대해 metric(거리함수) $d(p, q)$ 가 정의되어 있고 아래 조건들을 만족할 때, $(X, d)$를 metric space(거리공간) 라고 한다.

1. 양의 성질 (Positivity):
   $d(p, q) > 0$ if $p \ne q$, and $d(p, p) = 0$
2. 대칭성 (Symmetry):
   $d(p, q) = d(q, p)$
3. 삼각 부등식 (Triangle Inequality):
   $d(p, q) \le d(p, r) + d(r, q)$ for all $r \in X$

이러한 조건을 만족하는 함수 $d$를 metric 또는 distance function 이라고 한다.

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✅ 2.16 Examples (Metric Space의 예시)

• 대표적 예시: 유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$

  • 특히 $\mathbb{R}^1$ (실수 직선), $\mathbb{R}^2$ (복소수 평면)
  • 거리 함수: $d(x, y) = |x - y|$

• 중요한 성질:

  • Metric space의 부분집합도 자체로 metric space가 된다.
  • 즉, $Y \subset X$ 이면 $(Y, d)$도 metric space.
  • 이유: 정의 2.15의 조건들이 $Y$ 위에서도 그대로 유지되기 때문.

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✅ 2.17 Definition (구간, 볼, 볼록 집합)

1. 구간의 정의

• 열린 구간 (open interval):
  $(a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}$
• 닫힌 구간 (closed interval):
  $[a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$
• 반열린 구간 (half-open interval):
  $[a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b \}$
  $(a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b \}$

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2. k-cell

• $a_i < b_i$ for $i = 1, \dots, k$일 때,
  $\mathbb{R}^k$의 모든 점 $x = (x_1, \dots, x_k)$ 중
  $a_i \le x_i \le b_i$를 만족하는 점들의 집합:
  $[a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \dots \times [a_k, b_k]$
• 예:
  • 1-cell: $[a, b]$ (구간)
  • 2-cell: 직사각형
  • 3-cell: 직육면체

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3. Open Ball / Closed Ball

• 중심 $x \in \mathbb{R}^k$, 반지름 $r > 0$일 때:

  • Open ball:
    $B(x, r) = \{ y \in \mathbb{R}^k \mid |y - x| < r \}$

  • Closed ball:
    $\overline{B}(x, r) = \{ y \in \mathbb{R}^k \mid |y - x| \le r \}$

• $\mathbb{R}^2$에서는 각각 원의 내부, 원 내부+테두리에 해당.

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4. Convex Set (볼록 집합)

• 집합 $E \subset \mathbb{R}^k$가 다음 조건을 만족하면 convex라고 한다:

  임의의 $x, y \in E$ 및 $0 < \lambda < 1$에 대해
  $\lambda x + (1 - \lambda)y \in E$

• 직관: 두 점을 이은 선분 전체가 집합 안에 들어갈 때, 그 집합은 convex.
  

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예시: Ball은 Convex

볼 $B(x, r)$ 안에 두 점 $y$, $z$가 있다고 하자. 즉,

이때, 선분 위의 점 $w = \lambda y + (1 - \lambda)z$ 가 여전히 ball 안에 들어감을 보이자.

📝 Proof

1. 선분 위의 점은 다음과 같이 정의된다:

   $w = \lambda y + (1 - \lambda)z$

2. $w$가 ball 안에 있는지를 확인하기 위해 다음을 계산한다:

   $|w - x| = |\lambda y + (1 - \lambda)z - x|$

3. 벡터 항을 정리하면:

   $|w - x| = |\lambda(y - x) + (1 - \lambda)(z - x)|$

4. 삼각부등식을 적용하면:

   $|w - x| \le \lambda |y - x| + (1 - \lambda)|z - x|$

5. $|y - x| < r$, $|z - x| < r$ 이므로:

   $\lambda |y - x| + (1 - \lambda)|z - x| < \lambda r + (1 - \lambda)r = r$

6. 따라서,

   $|w - x| < r \Rightarrow w \in B(x, r)$

→ 결론적으로, open ball은 convex이다.

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• 같은 논리로 closed ball도 convex임을 증명할 수 있다 (등호 허용).
• $k$-cell (직사각형, 직육면체 등) 역시 convex이다.
• 반면, 오목한 모양이나 구멍 뚫린 집합은 convex가 아니다.