Expectation, Variance

Discrete Random Variable (PMF)

Discrete random variable의 기대값(E[X])은 아래 식으로 나타낼 수 있습니다.

E[X]는 random variable X의 expected value입니다. E[X]는 X의 가능한 value에서의 weighted average입니다. 여기서 $x_i$는 random variable을 의미하며, $f_x(x_i)$는 random function의 값을 의미합니다.

또한, E[g[X]]는 다음과 같이 계산됩니다:

여기서, C가 constant value일 때, E[C], E[cX], E[cX+d]는 다음과 같이 계산됩니다:

• E[C]에서 C가 constant value일 때, 값은 C입니다.
• E[cX]에서 C가 constant value일 때, 값은 CE[X]입니다.
• E[cX+d]에서 C와 d가 constant value일 때, 값은 CE[X] + d입니다.

Variance

Variance V(X)는 다음과 같이 정의됩니다:

여기서 X는 random variable 값이며 E[X]는 expected 값입니다. Variance는 제곱을 하기 때문에 negative가 될 수 없습니다.

Variance 식은 다음과 같이 전개됩니다:

Variance의 특성은 다음과 같습니다:

• V(c) = E[{C-E(C)}^2] = E[(C-C)^2] = E[0] = 0
• V(cX) = E[{cx-cE(x)}^2] = E[C^2{x-E(x)}^2] = c^2 E[{x-E(X)}^2] = C^2 V(X)
• v(cX+d)는 위의 식을 결합하여 값이 C^2 V(x)로 나오게 됩니다.