베르누이분포, 이항분포

표본공간에서 확률 분포가 나오는 과정은 다음과 같습니다:
1. 표본공간 -> Random variable에 따라 실수 값으로 변환
2. 이 실수 값을 probability function을 통해 확률 값으로 변환
3. 이 확률들의 패턴이 확률 분포가 됨

Probability Distribution

• 확률 함수로부터 생성된 확률 값들의 패턴

확률 함수에서 변환할 수 있는 값은 Discrete(이산형)와 Continuous(연속형)입니다. Discrete는 Probability Mass Function을 통해 이산형 확률 분포로, Continuous는 Probability Density Function을 통해 연속형 확률 분포로 변환됩니다.

베르누이 분포

• 베르누이 분포에서 random variable은 1(성공)과 0(실패)으로 나뉩니다.
• p = P[success] = P[X=1]로 정의, 여기서 $f_x(x;p) = p^x(1-p)^{1-x}$, x=0 또는 1
• Expected value: E[X] = p
• Variance: V[X] = p(1-p)

이항 분포 (Binomial Distribution)

• 베르누이 실험의 한 번의 시행을 Bernoulli trial이라고 함
• n번의 독립적인 Bernoulli trials를 수행
• P(x) = $(\begin{matrix}n \\x\end{matrix})p^x(1-p)^{n-x}$, 여기서 x = 0, 1, ..., n
• 이는 n번의 시행에서 x번의 성공 확률을 나타냄, p는 각 시행에서의 성공 확률
• 이항 분포의 $\sum_(\begin{matrix}n \\x\end{matrix})p^x(1-p)^{n-x}$ 값은 1
• 이항 분포에서의 Expected value: E[x] = np
• Variance: V[X] = np(1-p)
• 이항 분포에서 최대값을 얻는 propostion은 (n+1)p일 때

이항 분포는 각 시행에서 독립적인 성공 확률을 가지며, 이를 통해 전체 시행에서의 성공 횟수의 확률 분포를 나타냅니다.