Geometric Distribution,Negative Binomial Distribution,Hypergeometric Distribution

박윤서·2024년 1월 17일
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Geometric Distribution

  • 첫 번째 성공이 일어날 때까지 Bernoulli trial을 실행할 횟수

확률 질량 함수

P(X=n)=(1−p)n−1p,n=1,2,…P(X = n) = (1-p)^{n-1}p, \quad n=1,2,\ldots

예를 들어, n=5인 경우는 5번의 시행 후 첫 번째 성공을 의미합니다.

기하 분포의 성질

∑n=1∞P(X=n)=p∑n=1∞(1−p)n−1=p1−(1−p)=1\sum_{n=1}^{\infty}P(X=n) = p \sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n-1} = \frac{p}{1-(1-p)} = 1
  • 기대값(E[X]): (1p)( \frac{1}{p} )
  • 분산(Var[X]): (1−pp2)( \frac{1-p}{p^2} )

Negative Binomial Distribution

  • k번째 성공이 일어날 때까지의 시행 횟수

Negative Binomial Distribution은 기하 분포와 유사하나, k번의 성공을 기준으로 합니다. k=1인 경우 기하 분포와 동일합니다.

확률 질량 함수

P(X=n)=(n−1r−1)pr(1−p)n−r,n=r,r+1,…P(X=n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r}, \quad n=r, r+1, \ldots

여기서 r은 성공 횟수, n은 시행 횟수입니다. n번째 시행에서 성공이 일어나야 하며, 이전에는 r-1번의 성공이 있어야 합니다.

Negative Binomial Distribution의 성질

∑n=r∞P(X=n)=∑n=r∞(n−1r−1)pr(1−p)n−r=1\sum_{n=r}^{\infty}P(X=n) = \sum_{n=r}^{\infty}\binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r} = 1
  • 기대값(E[X]): (rp)( \frac{r}{p} )
  • 분산(Var[X]): (r(1−p)p2)( \frac{r(1-p)}{p^2} )

Hypergeometric Distribution

  • N개 중 m개가 하얀색 공, N-m개가 빨간색 공일 때, 비복원 추출로 n개의 공 중 흰색 공의 개수

확률 질량 함수

P(X=i)=(mi)(N−mn−i)(Nn),i=0,1,2,…,nP(X=i) = \frac{\binom{m}{i} \binom{N-m}{n-i}}{\binom{N}{n}}, \quad i=0, 1, 2, \ldots, n
  • 기대값(E[X]): (nmN)( \frac{nm}{N} )
  • 분산(Var[X]): ((N−n)(N−1)×n×mN×(1−mN))( \frac{(N-n)}{(N-1)} \times n \times \frac{m}{N} \times \left(1 - \frac{m}{N}\right) )
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박윤서
데이터 분석가가 되기 위해서 공부하고 있습니다.
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