[논문 리뷰] Observer-based robust MPC for trajectory tracking of autonomous vehicles with dynamic envelopes

이건희·2026년 9월 28일

논문 Review

목록 보기

17/18

저자: Guoshun Cai, Guodong Yin, Jinxiang Wang, Jiwei Feng, Shuo Bai, Jingyu Hu
소속: Southeast University, Liaocheng University
게재지: Control Engineering Practice, Vol. 172, 106893, 2026
DOI: 10.1016/j.conengprac.2026.106893

Abstract 요약
자율주행차의 궤적 추종에서는 종방향 속도와 타이어 코너링 강성이 계속 변하고, 외란과 상태 추정 오차까지 동시에 존재함. 이 논문은 이러한 불확실성을 다면체 LPV 모델로 표현하고, quadratic boundedness 기반 관측기로 추정 오차의 크기를 매 순간 갱신하며, 그 오차경계를 min-max 강건 MPC에 직접 포함하는 방법을 제안함. 여기에 횡슬립각–요레이트 위상평면 제약과 제어 장벽 함수(CBF) 기반 추종 안전영역을 함께 넣어 안정성과 안전성을 동시에 다룸. 계산량이 큰 LMI는 오프라인에서 풀고 온라인에서는 현재 스케줄링 변수에 맞춰 보간함으로써 0.01 s 샘플링 조건을 만족함. HIL과 실차 시험에서 기존 LMI 기반 preview 제어기와 tube MPC보다 추종 정확도와 차량 안정성이 개선됨을 확인함.

이 논문의 질문은 단순히 “경로를 잘 따라갈 수 있는가”가 아님. 실제 차량에서 직접 측정하기 어려운 상태가 있고, 모델이 계속 변하며, 안전영역을 넘지 않으면서도 실시간 계산이 가능해야 한다는 네 가지 요구를 하나의 제어 구조에서 만족할 수 있는지가 핵심임. 논문의 해법은 관측기가 불확실성을 숫자로 경계 짓고, 강건 MPC가 그 경계의 최악 조건을 대비하며, 위상평면과 CBF가 각각 차량 동역학 안정성과 추종 안전성을 제한하는 역할 분담임.

1. Introduction

기존 궤적 추종 제어는 모델 불확실성, 외란, 상태 추정 오차를 따로 다루는 경우가 많음. 그러나 실제 차량에서는 이 세 요소가 동시에 작용하므로 하나만 무시해도 이론적으로 얻은 안정성 보장이 약해질 수 있음.
일반적인 상태 관측기는 추정값만 제공하지만, 강건 MPC에는 “추정 오차가 최대 어느 범위에 있는가”도 필요함. 이 논문은 quadratic boundedness를 사용하여 관측 오차의 타원체 경계를 계산하고 온라인에서 줄여 나감.
차량 안정성은 횡슬립각과 요레이트가 만드는 위상평면의 안정영역으로, 추종 안전성은 횡방향 오차와 헤딩 오차가 만드는 CBF 안전집합으로 표현함. 두 제약을 MPC 상태 제약으로 합치는 것이 제안 구조의 특징임.
주요 기여는 시변 타이어 강성과 속도를 반영한 다면체 LPV 모델, 온라인 오차경계 갱신 관측기, 오차를 포함한 min-max 강건 MPC, CBF와 위상평면의 통합, 오프라인·온라인 분리를 통한 실시간 구현으로 정리됨.

2. System modeling

2.1 Vehicle dynamics model

횡슬립각 $\beta$ 와 요레이트 $\gamma$ 를 중심으로 한 2자유도 횡방향 동역학이 모델의 출발점임.

\begin{aligned}M v_x(\dot\beta+\gamma)&=F_{yf}\cos\delta_f+F_{yr},\\ I_z\dot\gamma&=l_fF_{yf}\cos\delta_f-l_rF_{yr}+\Delta M_z\end{aligned}\tag{1}

$M$ 은 질량, $v_x$ 는 종방향 속도, $I_z$ 는 요 관성모멘트, $l_f,l_r$ 는 차체 중심에서 앞·뒤 차축까지의 거리임. $F_{yf},F_{yr}$ 는 횡력, $\delta_f$ 는 전륜 조향각, $\Delta M_z$ 는 추가 요 모멘트임.
횡력의 기준 모델은 슬립각에 따른 비선형 Magic Formula임.

F_{y,n}=-D_y\sin\!\left\{C_y\arctan\!\left[B_y(\alpha_n+S_{hy})-E_y\{B_y(\alpha_n+S_{hy})-\arctan(B_y(\alpha_n+S_{hy}))\}\right]\right\}+S_{vy},\quad n\in\{f,r\}\tag{2}

$\alpha_n$ 은 앞·뒤 타이어 슬립각이며 $B_y,C_y,D_y,E_y,S_{hy},S_{vy}$ 는 Magic Formula 계수임. 실제 제어 계산에서는 이 비선형식을 매번 직접 풀기보다 작동점 주변의 등가 강성으로 근사함.

F_{yf}=K_f\alpha_f,\qquad F_{yr}=K_r\alpha_r\tag{3}

K_f=\varepsilon_f C_f,\qquad K_r=\varepsilon_r C_r\tag{4}

$K_f,K_r$ 는 등가 코너링 강성, $C_f,C_r$ 는 선형 영역의 기준 강성임. $\varepsilon_f,\varepsilon_r$ 는 미리 계산한 타이어 모델의 조회표에서 현재 슬립각에 맞춰 갱신하는 조정계수임.
경로를 미리 보는 점에서 횡방향 위치오차와 헤딩오차의 변화율을 추가함.

\begin{cases}\dot e_y=v_x\sin e_\varphi-v_x\beta-\gamma l_p,\\ \dot e_\varphi=v_x\rho_r-\gamma\end{cases}\tag{5}

$l_p$ 는 미리보기 거리, $\rho_r$ 는 기준 경로의 곡률임. 식 (1)–(5)를 결합한 제어용 연속시간 모델은 다음과 같음.

\dot x(t)=A x(t)+B u(t)+D d(t),\qquad z(t)=Cx(t)+Hd(t)\tag{6}

상태는 $x=[e_y,e_\varphi,\beta,\gamma]^T$ , 입력은 $u=[\delta_f,\Delta M_z]^T$ , 외란은 $d=\rho_r$ 임. 식 (6)의 원문 번호는 상태벡터 정의만이 아니라 상태·출력 방정식 전체에 해당함.

2.2 LPV system

속도 $v_x$ 와 강성 조정계수 $\varepsilon_f,\varepsilon_r$ 의 변화가 모델 행렬을 바꿈. 저자들은 $\sigma_1=\varepsilon_f/v_x$ , $\sigma_2=\varepsilon_r/v_x$ , $\sigma_3=\varepsilon_f/v_x^2$ , $\sigma_4=\varepsilon_r/v_x^2$ , $\sigma_5=\varepsilon_f$ , $\sigma_6=\varepsilon_r$ , $\sigma_7=v_x$ 를 스케줄링 변수로 정의함.

\begin{aligned}A(\sigma)&=A_0+\sum_{i=1}^{7}\sigma_i A_i,\\ B(\sigma)&=B_0+\sigma_1B_1+\sigma_5B_5,\\ D(\sigma)&=\sigma_7D_7\end{aligned}\tag{7}

$A_i,B_i,D_7$ 은 일정한 기저행렬이며 구체적인 성분은 Appendix A에 있음. 상관된 변수들의 최댓값과 최솟값이 동시에 발생한다는 관계를 이용해 128개 조합을 네 꼭짓점으로 축소함.

\begin{aligned}\lambda_1&=[\sigma_{1\min},\sigma_{2\min},\sigma_{3\min},\sigma_{4\min},\sigma_{5\min},\sigma_{6\min},\sigma_{7\max}],\\ \lambda_2&=[\sigma_{1\max},\sigma_{2\min},\sigma_{3\max},\sigma_{4\min},\sigma_{5\max},\sigma_{6\min},\sigma_{7\min}],\\ \lambda_3&=[\sigma_{1\min},\sigma_{2\max},\sigma_{3\min},\sigma_{4\max},\sigma_{5\min},\sigma_{6\max},\sigma_{7\max}],\\ \lambda_4&=[\sigma_{1\max},\sigma_{2\max},\sigma_{3\max},\sigma_{4\max},\sigma_{5\max},\sigma_{6\max},\sigma_{7\min}]\end{aligned}\tag{8}

$\lambda_j(i)$ 는 꼭짓점 $j$ 의 $i$ 번째 변수 값임. 이 값을 식 (7)에 대입하면 꼭짓점별 연속시간 행렬이 정해짐.

\bar A_j=A_0+\sum_{i=1}^{7}\lambda_j(i)A_i,\quad \bar B_j=B_0+\lambda_j(1)B_1+\lambda_j(5)B_5,\quad \bar D_j=\lambda_j(7)D_7\quad(j=1,\ldots,4)\tag{9}

이산화된 모델은 네 꼭짓점 시스템의 볼록결합으로 표현됨.

\begin{cases}x(k+1)=E(\eta(k))x(k)+F(\eta(k))u(k)+G(\eta(k))d(k),\\ z(k)=Cx(k)+Hd(k)\end{cases}\tag{10}

$E,F,G$ 는 각 꼭짓점의 이산화 행렬 $\bar A'_j,\bar B'_j,\bar D'_j$ 을 $\eta_j$ 로 가중한 합임. 가중치 합은 1이며, 원문의 식 (11)이 현재 스케줄링 값에서 그 비율을 지정함. $a=(\sigma_{1\max}-\sigma_1)/(\sigma_{1\max}-\sigma_{1\min})$ , $b=(\sigma_2-\sigma_{2\min})/(\sigma_{2\max}-\sigma_{2\min})$ 로 축약해 쓰면 원문의 네 가중치는 다음과 같음.

\eta_1=ab,\qquad \eta_2=(1-a)b,\qquad \eta_3=a(1-b),\qquad \eta_4=(1-a)(1-b),\qquad\sum_{j=1}^{4}\eta_j=1\tag{11}

$a,b$ 는 앞·뒤 타이어 상태를 꼭짓점 사이에서 보간하는 비율임. 원문이 명시한 상관관계를 유지하면서 꼭짓점 수를 줄이는 계산상의 핵심임.

이 단계는 비선형 차량의 가능한 변화 범위를 네 꼭짓점의 볼록껍질에 담는 구성임. 이후 LMI를 모든 꼭짓점에서 확인하는 이유도 여기에 있음.

3. Observer-based robust MPC design

3.1 Off-line observer design

직접 계측하기 어려운 횡슬립각을 포함한 상태를 추정하기 위해 다면체 LPV 관측기를 둠.

\hat x(k+1)=E(\eta(k))\hat x(k)+F(\eta(k))u(k)+L(\eta(k))[z(k)-C\hat x(k)]\tag{12}

$\hat x$ 는 추정 상태, $L(\eta)=\sum_q\eta_qL_q$ 는 꼭짓점 관측기 이득임. 식 (10)에서 식 (12)를 빼면 오차 $x_o=x-\hat x$ 의 동역학이 얻어짐.

x_o(k+1)=[E(\eta)-L(\eta)C]x_o(k)+[G(\eta)-L(\eta)H]d(k)\tag{13}

오차의 크기는 양의 정부호 $P_o$ 로 정의한 $V_o=x_o^TP_ox_o$ 로 측정함. 원문 식 (14)는 $V_o$ 가 1 이상일 때 감소하도록 요구함.

V_o(k)\geq1\quad\Longrightarrow\quad V_o(k)-V_o(k+1)\geq0\tag{14}

$V_o=1$ 인 타원체가 외란 하에서 오차를 가두는 집합이 됨. Theorem 1은 $\|d\|_{Q_w}^2\leq1$ , $0<\theta<1$ 을 가정하고 다음 오프라인 LMI로 $P_o$ 와 꼭짓점별 $R_q$ 를 구함.

\begin{aligned}\max_{P_o,R_q}\;&\operatorname{tr}(P_o)\\ \text{s.t. }&\begin{bmatrix}(1-\theta)P_o&\ast&\ast\\0&\theta Q_w&\ast\\P_oE_q-R_qC&P_oD_q-R_qH&P_o\end{bmatrix}\succeq0\end{aligned}\tag{15}

$Q_w$ 는 허용 외란 집합의 가중행렬이며, $R_q=P_oL_q$ 로 치환하면 행렬 부등식이 설계변수에 선형이 됨. 원문 식 (15)는 외란 행렬을 $D_q$ 로 표기하지만, 이산 상태식 (10)·오차식 (13)은 $G$ 로 표기함. 여기서는 원문의 표기를 그대로 제시한 것임.
$\|d\|_{Q_w}^2\leq1$ 이므로 $V_o\geq1$ 이면 $V_o\geq\|d\|_{Q_w}^2$ 임. 따라서 증명의 충분조건을 다음처럼 쓸 수 있음.

V_o(k)\geq\|d(k)\|_{Q_w}^2\quad\Longrightarrow\quad V_o(k)-V_o(k+1)\geq0\tag{16}

S-procedure는 두 이차 부등식의 함의를 비음수 승수 $\theta$ 를 갖는 하나의 부등식으로 바꿈.

V_o(k)-V_o(k+1)\geq\theta\bigl(V_o(k)-\|d(k)\|_{Q_w}^2\bigr)\tag{17}

식 (13)을 대입하고 $w=[x_o^T,d^T]^T$ 로 놓으면 위 조건은 이차형식으로 표현됨.

\begin{bmatrix}x_o\\d\end{bmatrix}^{\!T}\begin{bmatrix}\Theta_1&\ast\\\Theta_2&\Theta_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_o\\d\end{bmatrix}\geq0\tag{18}

여기서 $A_o=E-LC$ , $D_o=G-LH$ 라고 두면 $\Theta_1=(1-\theta)P_o-A_o^TP_oA_o$ , $\Theta_2=-D_o^TP_oA_o$ , $\Theta_3=\theta Q_w-D_o^TP_oD_o$ 임. 모든 허용 $x_o,d$ 에 대해 성립시키려면 블록 행렬이 양의 준정부호이면 충분함.

\begin{bmatrix}\Theta_1&\ast\\\Theta_2&\Theta_3\end{bmatrix}\succeq0\tag{19}

식 (19)에 Schur complement를 적용하면 식 (15) 형태의 LMI로 연결됨. 이 설계는 오차가 정확히 0이 된다는 주장이 아니라, 외란이 있어도 알려진 타원체 밖으로 발산하지 않도록 하는 조건임.

3.2 On-line refreshment of EES

오프라인에서 구한 타원체만 고정해서 쓰면 초기 오차가 큰 상황을 지나치게 보수적으로 처리함. $V_o(k)\leq\varsigma(k)$ 가 되는 스칼라 경계 $\varsigma(k)\geq1$ 을 온라인으로 갱신함. 식 (17)과 외란 경계에서 다음 수축식이 나옴.

V_o(k+1)\leq V_o(k)-\theta V_o(k)+\theta\|d(k)\|_{Q_w}^{2}\leq1+(1-\theta)[V_o(k)-1]\tag{20}

$0<\theta<1$ 이면 $V_o$ 의 상계가 정상상태 수준 1을 향해 수축함. 이 상계보다 더 작은 유효 경계를 찾기 위해 Theorem 2는 다음 최적화 문제를 풂.

\begin{aligned}\min_{\varsigma(k+1),\kappa_1,\kappa_2}\;&\varsigma(k+1)\\ \text{s.t. }&\kappa_1,\kappa_2\geq0,\quad\begin{bmatrix}\varsigma(k+1)-\kappa_1-\kappa_2\varsigma(k)&\ast&\ast\\0&\Lambda_{22}&\ast\\0&\Lambda_{32}&\Lambda_{33}\end{bmatrix}\succeq0\end{aligned}\tag{21}

$A_o=E-LC$ , $D_o=G-LH$ , $\bar P_o$ 는 식 (15)의 해로 두면 $\Lambda_{22}=\kappa_1Q_w-D_o^T\bar P_oD_o$ , $\Lambda_{32}=D_o^T\bar P_oA_o$ , $\Lambda_{33}=\kappa_2\bar P_o-A_o^T\bar P_oA_o$ 임. $\kappa_1,\kappa_2$ 는 각각 외란·현재 오차경계를 결합하는 S-procedure 승수임.
다음 시점의 오차가 새 경계 안에 있다는 조건을 직접 검사하면 다음 식임.

\varsigma(k+1)-x_o(k+1)^T\bar P_ox_o(k+1)-\kappa_1[1-d(k)^TQ_wd(k)]-\kappa_2[\varsigma(k)-x_o(k)^T\bar P_ox_o(k)]\geq0\tag{22}

식 (13)을 넣은 후에는 다음의 동등한 압축형 표현이 됨. 원문 식 (23)은 두 제곱항을 전개해 네 이차항으로 적은 형태임.

\varsigma(k+1)-\|A_ox_o(k)+D_od(k)\|_{\bar P_o}^{2}-\kappa_1[1-d(k)^TQ_wd(k)]-\kappa_2[\varsigma(k)-x_o(k)^T\bar P_ox_o(k)]\geq0\tag{23}

이를 $[1,d^T,x_o^T]^T$ 에 대한 행렬 부등식으로 바꾸면 식 (21)이 얻어짐. 논문은 이 갱신 계산이 한 제어주기에서 0.0023 s에 끝났다고 보고함.
Algorithm 1은 식 (15)의 관측기 이득을 오프라인에서 계산하고, 식 (12)의 상태 추정과 식 (21)의 오차집합 갱신을 온라인에서 수행하는 순서임.

3.3 Optimization problem formulation

추정 상태를 이용한 LPV 상태 피드백을 꼭짓점 이득의 가중합으로 정의함.

u(c|k)=N(\eta(k))\hat x(c|k)=\sum_{q=1}^{q_m}\eta_q(k)N_q(k)\hat x(c|k)\tag{24}

$c$ 는 예측 단계, $k$ 는 현재 제어 시점, $N_q$ 는 설계할 꼭짓점별 이득임. $\xi=[\hat x^T,x_o^T]^T$ 를 도입하면 추정 상태와 실제 상태의 차이를 같은 예측계에 넣을 수 있음.

\xi(c+1|k)=\Pi(c,k)\xi(c|k)+\Xi(c,k)d(k+c),\qquad c\geq0\tag{25}

$\Pi=\begin{bmatrix}E+FN&LC\\0&E-LC\end{bmatrix}$ , $\Xi=\begin{bmatrix}LH\\G-LH\end{bmatrix}$ 임. 따라서 관측 오차가 추정 상태의 미래값에도 영향을 주는 경로가 명시됨.
저자의 min–max 문제는 허용 LPV 행렬과 외란의 최악 조건에서 성능 상계 $\Upsilon$ 를 최소화함. 기존 글에 있던 무한합 목적함수는 원문 식 (26) 자체가 아니라 뒤의 식 (48)에서 평가하는 비용임.

\min_{\Upsilon,S,N_q}\ \max_{[E|F|G|C|H](\eta)\in\mathcal Q,\ \|d(k+c)\|_{Q_w}^{2}\leq1}\ \Upsilon\tag{26}

$\mathcal Q$ 는 가능한 모델의 집합임. 식 (26)은 다음 네 종류의 제약 아래에서 풀림. 먼저 확장 상태를 타원체 종단집합에 둠.

\xi(k)\in\psi_{S^{-1}},\qquad S=\operatorname{diag}(S_1,S_2),\quad S_1,S_2\succ0\tag{27}

$S$ 는 추정 상태와 관측 오차에 대응하는 블록 행렬임. 타원체 밖에서는 Lyapunov 크기가 단계비용보다 충분히 감소하도록 요구함.

\|\xi(c|k)\|_{S^{-1}}^{2}\geq1\ \Longrightarrow\ \|\xi(c|k)\|_{S^{-1}}^{2}-\|\xi(c+1|k)\|_{S^{-1}}^{2}\geq\frac{\|z(c|k)\|_T^2+\|u(c|k)\|_U^2}{\Upsilon}\tag{28}

$T,U$ 는 출력·입력 단계비용의 가중행렬이며 $\Upsilon$ 는 그 감소율을 정하는 상계임. 물리적 입력과 차량 상태는 각각 다음 한계에 묶임.

-u_{\max}\leq u(c|k)\leq u_{\max}\tag{29}

-\chi_{\max}\leq\Phi x(c+1|k)\leq\chi_{\max}\tag{30}

$u_{\max}$ 는 조향각·요 모멘트 한계, $\Phi$ 는 상태 중 제한할 성분의 선택행렬, $\chi_{\max}$ 는 해당 허용값임. 뒤의 위상평면과 CBF 조건이 $\Phi,\chi_{\max}$ 의 구체적 내용을 제공함.

3.4 Robust MPC design

Theorem 3은 식 (26)–(30)의 조건을 LMI로 바꿈. 설계변수는 $S_1,S_2$ , 꼭짓점 이득을 대신하는 $W_q$ , 입력·상태 상계 행렬 $Y,Z$ , 성능 상계 $\Upsilon$ 및 스칼라 $\vartheta,\varpi$ 임.

\min_{\varpi,\vartheta,\Upsilon,W_q,S_1,S_2,Z,Y}\ \Upsilon\tag{31}

첫 LMI 쌍은 현재 추정 상태와 식 (21)의 오차경계를 하나의 종단집합에 넣음.

\begin{bmatrix}\dfrac{\vartheta(k)}{\varsigma(k)}\bar P_o&\ast\\I&S_2\end{bmatrix}\succeq0,\qquad\begin{bmatrix}1-\vartheta(k)&\ast\\\hat x(k)&S_1\end{bmatrix}\succeq0\tag{32}

$\vartheta(k)$ 는 확장 상태의 허용 타원체 크기를 추정 상태와 오차 사이에 배분하는 스칼라임. 그다음 꼭짓점별 LMI는 성능 감소 조건과 외란 경계를 함께 다룸.

\begin{gathered}\sum_{q=1}^{q_m}\eta_q(k+c)X_q\succeq0,\\ X_q=\begin{bmatrix}(1-\varpi)S&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\varpi Q_w&\ast&\ast&\ast\\\Gamma_1&\Gamma_2&S&\ast&\ast\\T^{1/2}C[S_1,S_2]&T^{1/2}H&0&\Upsilon I&\ast\\U^{1/2}W_q&0&0&0&\Upsilon I\end{bmatrix}\succeq0\end{gathered}\tag{33}

여기서 $\Gamma_1=\begin{bmatrix}E_qS_1+F_qW_q&L_qCS_2\\0&E_qS_2-L_qCS_2\end{bmatrix}$ , $\Gamma_2=\begin{bmatrix}L_qH\\G_q-L_qH\end{bmatrix}$ 임. $\varpi$ 는 외란에 대해 Lyapunov 감소를 요구하는 S-procedure 가중치임.
물리적 입력 한계는 다음 LMI와 $Y$ 의 대각성분 상계로 표현함.

\begin{bmatrix}S_1&\ast&\ast\\0&S_2&\ast\\W_q&0&Y\end{bmatrix}\succeq0,\qquad Y_{pp}\leq(u_{\max}^{p})^2\tag{34}

$p$ 는 입력 성분의 번호이며, $W_q=N_qS_1$ 로 치환했으므로 해를 얻은 뒤 $N_q=W_qS_1^{-1}$ 로 복원함. 상태 한계도 같은 방식으로 $Z$ 와 $\Phi$ 를 이용해 LMI로 바꿈.

\begin{bmatrix}S_1&\ast&\ast&\ast\\0&S_2&\ast&\ast\\0&0&Q_w&\ast\\\sqrt2\Phi(E_qS_1+F_qW_q)&\sqrt2\Phi E_qS_2&\sqrt2\Phi G_q&Z\end{bmatrix}\succeq0,\qquad Z_{ss}\leq(\chi_{\max}^{s})^2\tag{35}

$s$ 는 제한된 상태 성분의 번호임. 식 (32)–(35)가 동시에 성립하면 종단집합, 성능 감소, 입력 및 상태 제약을 한 최적화 안에서 확인할 수 있음.
증명은 종단집합 조건을 추정 상태와 관측 오차의 합으로 먼저 분해함.

\xi(k)^TS^{-1}\xi(k)=\hat x(k)^TS_1^{-1}\hat x(k)+x_o(k)^TS_2^{-1}x_o(k)\leq1\tag{36}

식 (32)의 왼쪽은 오차 부분을 $\vartheta$ 이하로, 오른쪽은 추정 상태 부분을 $1-\vartheta$ 이하로 제한하므로 식 (36)을 만족시킴. 성능 조건을 S-procedure에 맞게 다시 쓰면 다음과 같음.

\|\xi(c|k)\|_{S^{-1}}^2\geq\|d(k+c)\|_{Q_w}^2\ \Longrightarrow\ \|\xi(c|k)\|_{S^{-1}}^2-\|\xi(c+1|k)\|_{S^{-1}}^2-\frac{\|z(c|k)\|_T^2+\|u(c|k)\|_U^2}{\Upsilon}\geq0\tag{37}

비음수 승수 $\varpi$ 를 도입하면 외란 경계의 함의가 하나의 부등식이 됨.

\|\xi_c\|_{S^{-1}}^2-\|\xi_{c+1}\|_{S^{-1}}^2-\frac{\|z_c\|_T^2+\|u_c\|_U^2}{\Upsilon}\geq\varpi\bigl(\|\xi_c\|_{S^{-1}}^2-\|d_c\|_{Q_w}^2\bigr)\tag{38}

(1-\varpi)\|\xi_c\|_{S^{-1}}^2+\varpi\|d_c\|_{Q_w}^2-\|\xi_{c+1}\|_{S^{-1}}^2-\frac{\|z_c\|_T^2+\|u_c\|_U^2}{\Upsilon}\geq0\tag{39}

아래에서 $\xi_c=\xi(c|k)$ , $d_c=d(k+c)$ 로 축약함. 식 (25)의 예측모델을 식 (39)에 넣으면 $[\xi_c^T,d_c^T]^T$ 의 이차형식이 됨.

\begin{bmatrix}\xi_c\\d_c\end{bmatrix}^{\!T}\begin{bmatrix}\nabla_{11}&\nabla_{12}\\\nabla_{21}&\nabla_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_c\\d_c\end{bmatrix}\geq0\tag{40}

$\nabla_{11}=(1-\varpi)S^{-1}-\Pi^TS^{-1}\Pi-\Upsilon^{-1}(C^TTC+N_q^TUN_q)$ 이고, 다른 블록에도 $\Xi,H$ 가 들어감. 원문은 설계변수의 역행렬을 없애려고 $\operatorname{diag}(S,I)$ 로 합동변환함.

\begin{bmatrix}\nabla'_{11}&\nabla'_{12}\\\nabla'_{21}&\nabla'_{22}\end{bmatrix}\succeq0\tag{41}

식 (41)의 블록은 식 (40)의 행렬을 $\operatorname{diag}(S,I)$ 로 양쪽에서 곱한 결과임. Schur complement를 적용하면 다음 선형 행렬 부등식으로 바뀜.

\hat X_q=\begin{bmatrix}(1-\varpi)S&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\varpi Q_w&\ast&\ast&\ast\\\Pi S&\Xi&S&\ast&\ast\\T^{1/2}CS&T^{1/2}H&0&\Upsilon I&\ast\\U^{1/2}N_qS_1&0&0&0&\Upsilon I\end{bmatrix}\succeq0\tag{42}

$W_q=N_qS_1$ , $\Gamma_1=\Pi S$ , $\Gamma_2=\Xi$ 를 대입하면 식 (33)의 계산 가능한 LMI가 됨. 여기까지가 성능 조건의 변환이고, 식 (43)–(46)은 입력·상태 한계의 변환임.
$e_p$ 를 입력 $p$ 번째 성분을 고르는 단위행벡터로 두면 Cauchy–Schwarz 부등식으로 최대 입력을 종단타원체 크기로 상계할 수 있음.

\max_{c\geq0}|e_pu(c|k)|^2\leq\max_{c\geq0}\|e_p[N,0]S^{1/2}\|^2\,\|S^{-1/2}\xi(c|k)\|^2\leq\|e_p[N,0]S^{1/2}\|^2\tag{43}

Y-[N,0]\begin{bmatrix}S_1&0\\0&S_2\end{bmatrix}[N,0]^T\succeq0,\qquad Y_{pp}\leq(u_{\max}^{p})^2\tag{44}

식 (44)에 $W_q=N_qS_1$ 을 넣고 Schur complement를 취하면 식 (34)가 됨. 상태 제약도 $b_s$ 를 제한할 상태의 $s$ 번째 행을 선택하는 벡터로 정의해 같은 순서로 처리함.

\max_{c\geq0}\|b_s\Phi x(c+1|k)\|^2\leq2\max_{c\geq0}\left\|b_s\Phi[I,I][\Pi,\Xi]\operatorname{diag}(S_1^{1/2},S_2^{1/2},Q_w^{1/2})\right\|^2\tag{45}

Z-2\Phi[I,I][\Pi,\Xi]\operatorname{diag}(S_1,S_2,Q_w^{-1})[\Pi,\Xi]^T[I,I]^T\Phi^T\succeq0,\qquad Z_{ss}\leq(\chi_{\max}^{s})^2\tag{46}

$b_s$ 는 여기서 상태 선택행벡터이며 CBF slack $b_s$ 와는 문맥상 구분할 필요가 있음. 원문 식 (45)에는 $Q_w^{1/2}$ , 식 (46)에는 $Q_w^{-1}$ 가 나타나므로 외란 타원체의 정규화 표기를 실제 구현 시 재확인해야 함. 식 (46)에 Schur complement와 $W_q=N_qS_1$ 치환을 적용하면 식 (35)로 연결됨.

3.5 On-line and off-line solution

Algorithm 1은 관측기의 오프라인 설계와 온라인 추정·EES 갱신 절차임. Algorithm 2는 Theorem 2와 Theorem 3을 매 시점 온라인에서 풀어 제어이득을 얻는 방식임.
Algorithm 3은 관측 상태와 오차경계의 대표값 조합에 대해 Theorem 3의 해를 미리 계산한 조회표를 구성함. 온라인에서는 현재 스케줄링 가중치와 조회표의 상태·오차경계 구간을 이용해 이득을 선택함.
오프라인 방식에서도 $\varsigma(k)>1$ 이면 Theorem 2의 EES 갱신 문제를 온라인으로 풂. 따라서 모든 계산이 사전 계산으로 대체되는 것은 아님.
원문 Table 3에는 Algorithm 1이 0.1251 s, Algorithm 2가 0.0076 s로 표기됨. 그러나 3.5절의 알고리즘 제목은 Algorithm 1=관측기, Algorithm 2=온라인 MPC, Algorithm 3=오프라인 MPC로 되어 있어 표와 5.1절의 알고리즘 번호 설명이 일치하지 않음. 계산시간은 원문 표의 값으로 제시하되 방법별 번호 대응은 유보할 필요가 있음.

제어이득을 미리 계산해도 관측 오차의 현재 크기는 매 시점 다시 측정해야 하는 구조임. 그 크기에 맞는 이득을 조회표에서 선택하므로 오차경계 갱신이 실시간 구현의 일부로 남음.

4. Stability and dynamic envelopes

4.1 Closed-loop system stability

명목계( $d=0$ )에서는 식 (33)이 식 (28)의 Lyapunov 감소조건을 보장함. 원문의 식 (47)은 감소량에 성능 상계 $\Upsilon$ 가 분모로 포함됨.

\|\xi_n(c|k)\|_{S^{-1}}^2-\|\xi_n(c+1|k)\|_{S^{-1}}^2\geq\frac{\|z_n(c|k)\|_T^2+\|u_n(c|k)\|_U^2}{\Upsilon}\tag{47}

$\xi_n,z_n,u_n$ 은 외란 없는 명목 예측값임. 식 (47)을 무한 시간에 걸쳐 합하고 종단집합 조건을 이용하면 비용 상계가 얻어짐.

\mathcal J_\infty(k)=\sum_{c=0}^{\infty}[\|z_n(c|k)\|_T^2+\|u_n(c|k)\|_U^2]\leq\Upsilon(k)\tag{48}

$\mathcal J_\infty$ 는 명목 무한시간 비용임. 재귀적 실행 가능성을 가정하고 다음 제어시점의 예측 시작점을 비교하면 Lyapunov 함수가 실제 폐루프에서도 감소함.

V_n(k)-V_n(k+1)>\frac{\|z_n(0|k)\|_T^2+\|u_n(0|k)\|_U^2}{\Upsilon}\geq0\tag{49}

$V_n=\xi_n^TS^{-1}\xi_n$ 임. 논문은 명목계의 원점 수렴과, 외란이 있는 실제 시스템에서는 원점 근방의 불변집합으로 수렴하는 강건 안정성을 구분함.
재귀적 실행 가능성 주장은 종단집합의 강건 양의 불변성, 종단 제어기의 제약 만족, 초기 시점 최적화의 실행 가능성을 전제로 함. 따라서 특정 HIL 결과만으로 모든 초기상태의 실행 가능성이 입증되는 것은 아님.

4.2 Phase-plane

4.2.1 Phase-plane

차량 횡방향 안정성은 $\beta$ – $\gamma$ 위상평면에서 정의한 평행사변형 영역으로 제한함.

-\Psi_1\leq \aleph_1\beta+\varphi_1\gamma\leq\Psi_1,\qquad -\Psi_2\leq \aleph_2\beta+\varphi_2\gamma\leq\Psi_2 \tag{50}

이 경계는 타이어가 포화되는 불안정 영역으로 상태가 진입하지 못하도록 하는 동역학적 안전봉투임.

4.2.2 Transformation to state constraint form

식 (50)의 평행사변형 안정영역을 상태벡터에 작용하는 행렬로 먼저 씀.

-\Psi\leq\Omega x\leq\Psi,\qquad\Omega=\begin{bmatrix}0&0&\aleph_1&\varphi_1\\0&0&\aleph_2&\varphi_2\end{bmatrix},\quad\Psi=\begin{bmatrix}\Psi_1\\\Psi_2\end{bmatrix}\tag{51}

$\Omega$ 는 상태 $x=[e_y,e_\varphi,\beta,\gamma]^T$ 에서 $\beta,\gamma$ 만 선택함. 양방향 부등식을 MPC가 처리할 수 있는 네 개의 단방향 제약으로 나눔.

\begin{cases}\Omega_1x=\aleph_1\beta+\varphi_1\gamma\leq\Psi_1,\\-\Omega_1x\leq\Psi_1,\\\Omega_2x=\aleph_2\beta+\varphi_2\gamma\leq\Psi_2,\\-\Omega_2x\leq\Psi_2\end{cases}\tag{52}

$\Omega_i$ 는 $\Omega$ 의 $i$ 번째 행임. 네 제약을 쌓으면 식 (30)에 직접 들어갈 선형 상태 제약이 됨.

\Phi_{\mathrm{PPB}}x\leq\chi_{\max}^{\mathrm{PPB}},\quad\Phi_{\mathrm{PPB}}=\begin{bmatrix}0&0&\aleph_1&\varphi_1\\0&0&-\aleph_1&-\varphi_1\\0&0&\aleph_2&\varphi_2\\0&0&-\aleph_2&-\varphi_2\end{bmatrix},\quad\chi_{\max}^{\mathrm{PPB}}=\begin{bmatrix}\Psi_1\\\Psi_1\\\Psi_2\\\Psi_2\end{bmatrix}\tag{53}

$\Phi_{\mathrm{PPB}}$ 의 행은 위상평면 경계의 양쪽 면에 각각 대응함. 원문의 안정영역을 구성하는 계수 $\aleph_i,\varphi_i,\Psi_i$ 는 nullcline 경계법으로 구함.

4.3 CBF-based dynamic safety envelope

4.3.1 Safety set and CBF

위상평면이 차량의 동역학 안정성을 제한한다면, CBF는 추종 오차가 허용 범위를 벗어나지 않도록 제한함. 안전집합은 $e_y$ 와 $e_\varphi$ 의 타원으로 정의됨.

h_s(x)=1-\frac{e_y^2}{e_{ym}^2}-\frac{e_\varphi^2}{e_{\varphi m}^2} \tag{54}

$h_s>0$ 이면 안전영역 내부, $h_s=0$ 이면 경계, $h_s<0$ 이면 안전영역 밖임.

4.3.2 Discrete-Time CBF condition

이산시간 안전집합의 전방 불변성을 위해 제어 장벽 함수의 한 단계 변화량에 조건을 둠.

\Delta h_s(k)\geq-\alpha(h_s(k))\tag{55}

$\Delta h_s(k)=h_s(k+1)-h_s(k)$ 이고, $\alpha$ 는 class- $\mathcal K$ 함수임. $\alpha(h_s)=b_rT_sh_s$ 로 선택하면 다음 식이 됨.

h_s(k+1)-h_s(k)\geq-b_rT_sh_s(k)\tag{56}

h_s(k+1)\geq(1-b_rT_s)h_s(k)\tag{57}

$T_s$ 는 샘플링 시간, $b_r$ 는 장벽 조건의 수렴률임. 급격한 외란이나 모델 불일치에서 최적화가 불가능해지는 상황을 줄이려고 slack $b_s\geq0$ 을 추가함.

h_s(k+1)\geq(1-b_rT_s)[h_s(k)-b_s]\tag{58}

$b_s>0$ 일 때 명목 안전 경계 $h_s\geq0$ 의 일시적인 위반을 허용하므로, 식 (58)만으로 원래 안전집합의 엄격한 전방 불변성이 보장된다고 읽어서는 안 됨. 원문은 실행 가능성과 더 엄격한 집합으로의 복귀를 위한 완화로 설명함.

4.3.3 Dynamic safety envelope definition

시점 $k$ 의 동적 안전봉투는 $\mathcal{E}(k)=\{x:h_s(x(k))\geq0\}$ 로 정의됨.
현재 추종 오차와 $b_r,b_s$ 에 따라 다음 시점의 허용 경계가 달라지므로 고정된 오차 제한이 아니라 상태 의존적 안전봉투가 됨.

4.3.4 Linearized CBF integration into robust MPC

타원형 CBF 조건은 두 추종 오차가 결합된 비선형 부등식임. 원문은 이를 각 오차의 상한으로 나누어 선형 상태 제약에 넣음.

|e_y|\leq e_{ym}^{\mathrm{eff}}(k),\qquad |e_\varphi|\leq e_{\varphi m}^{\mathrm{eff}}(k)\tag{59}

$e_{ym}^{\mathrm{eff}},e_{\varphi m}^{\mathrm{eff}}$ 는 CBF 상태에 따라 바뀌는 유효 추종오차 한계임. 식 (54)를 식 (58)에 대입해 얻은 $R(k)$ 로 계산함.

\begin{aligned}e_{ym}^{\mathrm{eff}}(k)&=e_{ym}\sqrt{R(k)},\qquad e_{\varphi m}^{\mathrm{eff}}(k)=e_{\varphi m}\sqrt{R(k)},\\R(k)&=1-(1-b_rT_s)\left(1-\frac{e_y(k)^2}{e_{ym}^2}-\frac{e_\varphi(k)^2}{e_{\varphi m}^2}-b_s\right)\end{aligned}\tag{60}

$R(k)$ 는 현재 추종오차와 slack에서 다음 시점에 허용할 범위를 정함. 식 (59)의 네 부등식을 쌓아 표준 MPC 상태제약으로 표현함.

\Phi_{\mathrm{CBF}}x(k)\leq\chi_{\max}^{\mathrm{CBF}}(k),\quad\Phi_{\mathrm{CBF}}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix},\quad\chi_{\max}^{\mathrm{CBF}}=\begin{bmatrix}e_{ym}\sqrt R\\e_{\varphi m}\sqrt R\\e_{ym}\sqrt R\\e_{\varphi m}\sqrt R\end{bmatrix}\tag{61}

$\Phi_{\mathrm{CBF}}$ 의 네 행은 두 오차의 양·음방향을 각각 제한함. 다만 식 (59)의 직사각형 경계와 원래 타원형 CBF 경계의 포함관계는 원문 서술만으로 항상 성립한다고 단정할 수 없음. 실제 안전 보장을 적용할 때 두 제약의 동시 만족 관계를 별도로 확인할 필요가 있음.

4.4 Integrated constraint formulation

추종 오차에 대한 CBF 제약과 횡슬립각·요레이트에 대한 위상평면 제약을 하나의 상태제약으로 합침.

\Phi_{\mathrm{total}}x(k)\leq\chi_{\max}^{\mathrm{total}}(k),\quad\Phi_{\mathrm{total}}=\begin{bmatrix}\Phi_{\mathrm{CBF}}\\\Phi_{\mathrm{PPB}}\end{bmatrix},\quad\chi_{\max}^{\mathrm{total}}=\begin{bmatrix}\chi_{\max}^{\mathrm{CBF}}(k)\\\chi_{\max}^{\mathrm{PPB}}\end{bmatrix}\tag{62}

$\Phi_{\mathrm{total}}$ 은 식 (35)의 상태제약 행렬 역할을 함. 실제 조향장치와 구동기의 한계도 별도로 적용함.

\begin{cases}-\bar\delta_f\leq\delta_f\leq\bar\delta_f,\\-\Delta\bar M_z\leq\Delta M_z\leq\Delta\bar M_z\end{cases}\tag{63}

$\bar\delta_f$ 는 최대 전륜 조향각, $\Delta\bar M_z$ 는 허용 추가 요 모멘트임. 이 경계가 식 (29)의 구체적인 입력 한계임.

4.5 Torque allocation design

상위 제어기가 요구한 $\Delta M_z$ 를 네 인휠모터의 종력으로 배분함. 목적함수는 전체 마찰 사용량과 바퀴 간 사용량 편차를 함께 줄임.

\min J=\sum_{\tau=1}^{4}\zeta_\tau+\phi\sqrt{\frac14\sum_{\tau=1}^{4}\left(\zeta_\tau-\frac14\sum_{j=1}^{4}\zeta_j\right)^2}\tag{64}

$\zeta_\tau=(F_{x\tau}^2+F_{y\tau}^2)/(\mu F_{z\tau})^2$ 는 바퀴 $\tau$ 의 마찰 사용률이며, $\phi$ 는 바퀴 간 편차의 가중치임. 요구 요 모멘트를 만드는 종력의 결합식은 다음과 같음.

\Delta M_z=\frac{t_w}{2}(-F_{xfl}\cos\delta_f+F_{xfr}\cos\delta_f-F_{xrl}+F_{xrr})+l_f(F_{xfl}+F_{xfr})\sin\delta_f\tag{65}

$t_w$ 는 윤거, $F_{xfl},F_{xfr},F_{xrl},F_{xrr}$ 은 각 바퀴의 종력임. 종력은 모터 토크와 타이어 마찰원의 두 한계를 모두 지켜야 함.

\max\!\left(-\frac{T_{\max}}{r_\omega},-\sqrt{(\mu F_{z\tau})^2-F_{y\tau}^{2}}\right)\leq F_{x\tau}\leq\min\!\left(\frac{T_{\max}}{r_\omega},\sqrt{(\mu F_{z\tau})^2-F_{y\tau}^{2}}\right)\tag{66}

$T_{\max}$ 는 모터 최대 토크, $r_\omega$ 는 바퀴 유효반경, $\mu$ 는 노면 마찰계수임. 이 경계 아래에서 목표 요 모멘트를 배분함.

5. Test and analysis

5.1 HIL experiment

dSPACE MicroAutoBox에서 제어기를 실행하고 NI PXI의 CarSim 차량모델과 연결한 HIL 환경을 사용함. 샘플링 시간은 0.01 s이며, 마찰계수 $\mu=0.8$ , 속도는 10–15 m/s로 변화하는 double lane change 조건임.
비교 대상은 LMI 기반 preview 제어기(LMI-P), 오프라인 tube MPC(TMPC), 제안한 RMPC-P임. 추종 오차 한계는 $e_{ym}=0.2$ m와 $e_{\varphi m}=0.03$ rad임.

EES는 약 1 s 안에 $\varsigma(k)=1$ 로 수렴하고, 성능 상계는 평균 4.63%의 비율로 감소하여 0.5 s 안에 $\Upsilon(k)=48.57$ 에 도달함.
초기 구간에서 CarSim과 예측모델의 mismatch로 추정 편차와 일부 반대 방향 추세가 나타남. 저자들은 이를 숨기지 않고 관측기 재튜닝, 모델 정밀도 향상, 적응 보상의 필요성을 한계로 제시함.

외란은 실험 전체에서 $\lVert d(k)\rVert_{Q_w}^2\leq1$ 을 만족함. RMPC-P의 위상평면 궤적이 원점에 가장 가깝고, TMPC와 LMI-P 순으로 큰 범위를 보임.

RMPC-P는 세 제어기 중 횡방향·헤딩 오차가 가장 작고 $0.2$ m 안전경계 안에 머묾. 안전 제약을 별도 후처리가 아니라 MPC 내부에 넣었으므로 입력을 갑자기 수정하지 않고 최적화 단계에서 안전한 입력을 생성함.

원문 Table 3의 평균 계산시간은 LMI-P 0.0001 s, TMPC 0.0089 s, Algorithm 2 0.0076 s, Algorithm 1 0.1251 s임. 표와 본문의 알고리즘 번호 대응에는 앞서 설명한 불일치가 있지만, 0.0076 s 방식은 0.01 s 제어주기 안에 들어오고 0.1251 s 방식은 들어오지 못함.

5.2 Real vehicle test

네 개의 인휠모터와 EPS를 갖춘 ADDEV 시험차에 GPS/INS, IMU, VCU, ROS 기반 mini PC를 탑재함. 평탄하고 건조한 아스팔트에서 DLC 시험을 수행함.

세 제어기 모두 주행을 완료했으나 RMPC-P가 가장 작은 횡방향·헤딩 오차를 보였고, CBF에 의해 횡방향 오차가 안전경계 안에 제한됨.
RMPC-P의 $\beta$ – $\gamma$ 궤적이 원점에 더 가깝고 조향각과 추가 요 모멘트도 더 작아, 추종 정확도 향상이 과도한 제어입력의 결과만은 아님을 보여 줌.

5.3 Quantitative performance analysis

HIL에서 RMPC-P의 RMS 값은 $e_y=0.0684$ m, $e_\varphi=0.0082$ rad, $\beta=0.0025$ rad, $\gamma=0.0529$ rad/s임. 실차에서는 각각 0.0737 m, 0.0083 rad, 0.0143 rad, 0.0624 rad/s임.
실차 기준으로 RMPC-P는 두 비교기보다 RMS 횡방향 오차를 최소 17.19%, RMS 횡슬립각을 최소 4.67%, RMS 요레이트를 최소 8.77% 줄였음.
다섯 번의 독립 HIL 반복시험에서 RMS 횡방향 오차는 $0.0686\pm7.0103\times10^{-4}$ m, RMS 헤딩 오차는 $0.0082\pm5.7890\times10^{-5}$ rad의 95% 신뢰구간을 보임.

반복시험의 좁은 신뢰구간은 동일한 HIL 조건에서 결과의 재현성이 높다는 증거임. 다만 이는 다양한 노면·고속 조건 전체에 대한 일반화 증거는 아니며, 논문도 고속 실차시험을 향후 과제로 남김.

6. Conclusion

제안 구조는 관측 오차를 경계 짓는 관측기, 그 최악값을 고려하는 강건 MPC, 동역학 안정성을 제한하는 위상평면, 추종 안전성을 제한하는 CBF를 하나의 LMI 기반 제어기에 통합함.
논문이 보고한 핵심 성과는 성능 상계의 샘플당 평균 4.63% 감소, 횡방향 오차의 0.2 m 안전경계 유지, LMI-P 대비 최대 요레이트 20.95% 감소와 최대 횡슬립각 29.67% 감소, 평균 온라인 계산시간 0.0076 s임.
이 결과는 단순 추종 정확도 향상보다 “추정 오차와 모델 불확실성이 있어도 안전·안정 제약을 함께 보장하면서 실시간 실행이 가능한가”라는 질문에 대한 실험적 답변임.

7. Future work

현재 실차 시험장은 안전상의 이유로 저속 시험만 허용함. 따라서 고속·고동특성 조건에서 제안한 안전봉투와 관측 오차 보장이 유지되는지는 아직 검증되지 않음.
고속 전용 시험장에서 공격적인 주행 조건을 검증하는 것이 후속 과제로 제시됨.

Appendix A

LPV 모델의 $A_0\sim A_7$ , $B_0,B_1,B_5,D_7$ 기저행렬을 제시함. 본문의 식 (7)이 스케줄링 변수와 고정행렬의 affine 결합으로 실제 구현될 수 있음을 구체화한 부분임.

Appendix B

Theorem 1의 S-procedure가 모든 외란에 적용될 조건을 확인함. 증명 대상인 quadratic boundedness 함의는 다음과 같음.

V_o(k)\geq\|d(k)\|_{Q_w}^2\quad\Longrightarrow\quad V_o(k)-V_o(k+1)\geq0\tag{B.1}

$V_o=x_o^TP_ox_o$ 이고 $\|d\|_{Q_w}^2=d^TQ_wd$ 임. 함의의 결론과 전제를 각각 이차함수로 정의함.

f_0(x_o,d)=V_o(k)-V_o(k+1)\tag{B.2}

f_1(x_o,d)=V_o(k)-\|d(k)\|_{Q_w}^2\tag{B.3}

$f_1\geq0$ 인 곳에서 $f_0\geq0$ 임을 보이려면 다음 비음수 승수 $\theta$ 가 존재하는지를 확인함.

f_0(x_o,d)-\theta f_1(x_o,d)\geq0\quad\text{for all }x_o,d,\qquad\theta\geq0\tag{B.4}

원문은 $\bar d=0$ 이고 $\bar x_o\ne0$ 인 점을 선택하여 제약 자격조건을 검증함.

f_1(\bar x_o,0)=\bar x_o^TP_o\bar x_o>0\tag{B.5}

$P_o\succ0$ 이므로 식 (B.5)의 엄격한 부등식이 성립함. 따라서 S-procedure를 적용할 수 있으며, 식 (B.4)를 원래 변수로 쓰면 다음과 같음.

[V_o(k)-V_o(k+1)]-\theta[V_o(k)-\|d(k)\|_{Q_w}^2]\geq0\tag{B.6}

(1-\theta)V_o(k)+\theta\|d(k)\|_{Q_w}^2-V_o(k+1)\geq0\tag{B.7}

식 (B.7)이 본문 식 (17)과 식 (15)의 출발점임. $0<\theta<1$ 을 택하면 $(1-\theta)P_o$ 의 양의 정부호를 유지할 수 있음.

Appendix C

튜닝은 물리·안전 파라미터 초기화, 관측기 $\theta$ , MPC 가중치 $T,U$ , CBF의 $b_r,b_s$ , 강건성 파라미터 $\varpi$ , 최종 시나리오 검증 순으로 수행하도록 안내함.
관측이 불안정하면 $\theta$ 를 낮추고, 수렴속도가 더 필요하면 높이는 방향임. 추종오차가 크면 $T$ 를 높이고, 입력이 공격적이면 $U$ 를 높이는 방향임.
안전 개입이 늦으면 $b_r$ 를 높이며, CBF가 지나치게 보수적이면 $b_s$ 를 조정함. 모든 파라미터는 상호작용하므로 한 번에 하나씩 변경하며 HIL에서 검증하는 접근이 필요함.

Appendix D

논문에서 사용한 라틴·그리스 기호의 단위와 의미를 표로 정리함. 특히 $\varsigma(k)$ 는 오차경계 크기, $\Upsilon$ 는 성능비용 상계, $b_r$ 은 CBF 수렴률, $b_s$ 는 CBF slack이라는 구분이 핵심임.

이 논문의 가장 중요한 메시지는 관측, 강건 제어, 안정성 영역, 안전 장벽을 별개 모듈로 단순 연결한 것이 아니라, 관측 오차경계와 두 종류의 안전 제약을 MPC의 최적화 조건 안에서 함께 계산했다는 점임. 반면 CBF의 결합 타원 제약을 독립 선형 제약으로 근사한 보수성, 고차원 시스템에서 증가하는 오프라인 계산량, 저속 실차시험에 한정된 검증 범위는 적용 전에 함께 고려할 한계임.

이건희

이전 포스트

[논문 리뷰] Safe path planning and adjustable zonotope-tube model predictive tracking control for autonomous vehicle

다음 포스트