내적

벡터의 연산
벡터와 벡터의 곱
(a,b,c) $\cdot$ (d,e,f) = (ad, be, cf)

벡터의 내적
(a, b) $\cdot$ (c, d) = ac + bd

벡터의 외적 (3차원 한정)

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벡터 내적의 성질
교환, 분배 법칙이 성립하지만 결합 법칙은 성립하지 않음

벡터 내적의 코사인 공식
$a \cdot b = |a||b|cos\theta$

두 벡터의 크기가 1인 경우 $a \cdot b = cos\theta$

벡터 내적의 직교성 판별
벡터의 크기가 0이 아닐 때 내적이 0이 나오는 경우 코사인 함수가 0이라는 뜻이다.

cos90$\degree$ or cos270$\degree$

=> 두 벡터가 직교한다.

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Rigid transformation
물체에 변환이 일어날 때 형태가 변하지 않는 변환

• 공간을 구성하는 모든 기저 벡터 크기가 1
• 모든 기저 벡터가 직교
• 선형 변환 행렬식 값이 1

=> 회전 변환

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앞 뒤 판별
벡터의 크기는 항상 0을 포함한 양수 값이 나온다

벡터의 내적이 음수 값을 가질 때는 코사인 함수의 영향을 받은 것이다

코사인 함수는 -90 ~ 90도일 때 양의 값을 가지며,

-180 ~ -90, 90 ~ 180도라면 음의 값을 가진다.

내적이 양의 값이면 앞에 있다고 판별

음의 값이면 뒤에 있다고 판별

시야 판별
시선 벡터와 목표물로 향하는 방향 벡터를 가지고,

두 벡터의 내적을 시키면 cos$\alpha$가 된다

코사인 함수는 0 ~ 180도 범위에서는 각이 증가할 수록 값이 감소하기 때문에

특정 목표 값보다 더 작다면 시야 범위 밖이라는 것이고, 더 크다면 범위 안이라고 판별할 수 있다.

음영 계산
램버트 코사인 법칙 (N $\cdot$ L)
물체 표면이 반사하는 빛의 휘도는 표면 방향과 광원 방향의 사잇각에 반비례하고, 코사인 값에는 비례한다

투영 벡터 공식
벡터 a를 다른 벡터 b로 투영할 시 투영된 b' 벡터는 b와 크기만 다를뿐 같은 방향을 가짐

투영된 벡터 b'는 b' 벡터의 방향과 크기를 곱하여 구할 수 있음

이때 이 같은 방향을 가리키던 b 벡터의 방향 벡터는 벡터를 크기로 나눔으로 구할 수 있고,

투영된 벡터의 크기는 a 벡터의 크기와 cos$\theta$를 곱하여 구할 수 있음 (직각삼각형)

cos$\theta$는 내적으로 구할 수 있음

$a \cdot b = |a||b|cos\theta$

=> $cos\theta = (a \cdot b) / (|a||b|)$

따라서

b' = $(b \ /\ |b|)\ \cdot\ (|a| \cdot a \cdot b)\ /\ (|a||b|)$
= $(a \cdot b)\cdot b\ /\ |b|^2$
크기의 제곱은 내적과 같으므로
= $(a \cdot b)\cdot b\ /\ (b \cdot b)$