아핀 공간

• 이동 변환의 문제점
  원점에서부터 시작하는 벡터의 특성상 기저벡터를 원점으로부터 분리해 이동시킬 수 없음

• 밀기 변환의 활용
  2차원에서 밀기 변환 시 기저 벡터와 평행한 벡터는 1차원적으로 이동하게 된다.

=> 3차원에서 밀기 변환 시 평면 이동이 가능해짐

3차원 정방 행렬을 통한 2차원 이동 변환

$\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a \\ y + b \\ 1 \end{bmatrix}$

=>

• 아핀 변환 (Affine transformation)
  새로운 축을 만들어 적용하는 변환

이동과 마찬가지로 크기,회전을 구현할 수 있음

$S = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$R = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

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• 아핀 공간
  벡터 공간에서 아핀 변환 시 사용한 축이 1인 공간

2차원에서 아핀 변환 시 새로운 z축을 1로하여 늘리는데 3차원에서 z=1인 평면을 아핀 공간이라 할 수 있음

아핀 공간에 속한 원소를 점(Point)라 하고 마지막 차원 값은 1이다.

2차원 공간의 점 (x, y, 1)
3차원 공간의 점 (x, y, z, 1)

• 아핀 공간의 이동(변위) 벡터
  점과 점의 대응 관계를 나타내기 위해 사용하는 벡터

점에 이동 벡터를 더해 새로운 벡터 생성

2차원 공간의 이동 벡터 (x, y, 0)
3차원 공간의 이동 벡터 (x, y, z, 0)

아핀 공간의 구성 요소
점: 물체의 시각적 표현을 위한 위치 정보
이동 벡터: 점을 이동시키는 매개체

아핀 공간의 규칙
점: z = 1
벡터: z = 0

점 - 점 = 벡터
점 + 벡터 = 점
벡터 + 벡터 = 벡터
점 + 점: z = 2가 되기 때문에 사용할 수 없음