역행렬

항등 행렬 (Identity matrix)
선형 변환의 결과가 변함없는 행렬

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

역행렬
선형 변환된 결과를 거꾸로 돌려주는 선형 변환
변형전 행렬과 역행렬을 곱할 시 항등 행렬이 나온다.

행렬식 (Determinant)
행렬식을 통하여 역행렬이 존재하는지 파악할 수 있으며, 역행렬을 구할 수 있음

행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$가 있을 때

ad - bc != 0 이면 역행렬 존재

이유
2x + y = 5, x + 0.5y = 4 일 때 연립방정식의 해가 존재 하지 않음

=> 두 함수의 기울기가 동일

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0.5 \end{bmatrix}$를 곱하게 되면 기저가 1개로 변하며 (5,4)를 가질 수 없게 됨

=> 1차원에서 2차원으로 가는 역행렬이 존재할 수 없음

ad - bc는 기저 변환 시 생기는 평행사변형의 넓이를 의미

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역행렬의 활용
연립방정식의 해를 구할 때 사용 가능

임의의 정방행렬의 역행렬을 구할 때 보통 사용하는 방법
가우스 소거법
크라메르 공식

크기 행렬의 역행렬

$\times\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$

=>

$\times\begin{bmatrix} 1/a & 0 \\ 0 & 1/b \end{bmatrix}$

곱해준만큼 나눠주면 된다.

밀기 행렬의 역행렬

$\times\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

=>

$\times\begin{bmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

밀었던만큼 다시 반대로 밀면 된다.

임의의 $\theta$ 만큼 회전 행렬의 역행렬

$\times\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

=>

$\times\begin{bmatrix} cos(-\theta) & -sin(-\theta) \\ sin(-\theta) & cos(-\theta) \end{bmatrix}$

회전한만큼 반대 방향으로 회전시키면 된다.

=>

$\times\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

(cos은 y축 대칭이기 때문에 -$\theta$와 $\theta$ 시의 값이 동일)

회전 행렬과 역행렬은 전치 관계임