6.1 행렬식
2 x 2 행렬식
2 x 2 행렬의 행렬식은 넓이 비례인자다.
-> 행렬식이 1인 행렬 : 순수 회전
-> 행렬식이 음수인 행렬 : 넓이의 방향이 바뀜.
역행렬
A-1 = 1/det(A) * ( d -b -c a ) (det(A) != 0)
-> 대각선 위치를 바꾸고, 나머지는 음수로 바꾸고
스칼라 det(A)로 나누기.
det(A) = 0 인 경우,
역행렬이 존재하지 않음.
6.2 여러 가지 행렬의 행렬식
소행렬식
행과 열을 제거하고 남은 행렬의 행렬식 -> 스칼라임.
M으로 나타냄.
여인수
C = (-1)^(i+j) * M
M은 소행렬식
(1,1) 은 무조건 부호가 +
3 x 3 행렬식
det(A) = a * (a의 여인수) + b * (b의 여인수) + c * (c의 여인수)
여인수이므로 부호 조심하자.
여인수행렬과 수반행렬(adj)
여인수행렬 : 정사각행렬 A의 여인수로 구성한 행렬, C로 표기
수반행렬 : 여인수행렬의 전치행렬, adj(A)로 표기
수반행렬과 행렬식과 역행렬
A adj(A) = det(A)I
det(A) != 0 이므로, 양변을 나누면
A (adj(A) / det(A)) = I
어? A랑 어떤 행렬을 곱하니 I가 됐네?
-> A-1 = 1/det(A) * adj(A)
역행렬 문제 풀 때
행렬식 det(A)를 먼저 구해야 한다. (det(A) = 0이면 비가역행렬이기 때문)
- det(A) 구하기
-> 좋은 줄 찾고, 여인수에다가 원소를 곱해서 더하자(부호 조심). - adj(A) 구하기
-> 1) 여인수 행렬 구하기 - 여기는 원소 곱하는 거 아니다. 부호 조심!
-> 2) 전치하기
6.3 행렬식의 성질
전치행렬의 행렬식
det(AT) = det(A)
-> 행으로 구하나, 열로 구하나 결과가 같다는 의미
한 행or열에 스칼라를 곱한 행렬식
B가 A의 한 행에 0이 아닌 스칼라 k를 곱한 행렬이면
det(B) = kdet(A)
스칼라를 곱한 행렬식
행렬 A는 n x n
det(kA) = k^n det(A)
삼각행렬과 대각행렬의 행렬식
주대각 성분의 곱
-> 대각선 애들 전부 곱하자.
기본행렬의 행렬식
(a) k를 곱한다. -> det(E) = k
(b) k를 곱해서 다른 행에 더한다. -> det(E) = 1
(c) 두 행을 교환한다. -> det(E) = -1
(a)는 대각선 전부 곱하면 나오고, (b)도 마찬가지.
(c)는 그냥 외우자.
기본 행 연산과 행렬식
행렬 B는 A에 기본 행 연산을 적용한 행렬.
(a) k를 곱한다. -> det(B) = kdet(A)
(b) k를 곱해서 다른 행에 더한다. -> det(B) = det(A)
(c) 두 행을 교환한다. -> det(E) = -det(A)
-> 문제 풀 때는 행렬 A를 풀기 쉽게 만들어서 행렬식을 구하자.
ex) 공통인수를 뽑는다거나, 분수를 제거한다거나, 삼각행렬로 만드는 등...
행 뿐만 아니라 열도 가능하다.
기본행렬 곱의 행렬식
det(EA) = det(E)det(A)
가역행렬의 동치 명제
정사각행렬 A는 가역행렬이다. <=> det(A) != 0
행렬 곱의 행렬식
det(AB) = det(A) * det(B)
-> AB = E1E2...EnB = det(E1)*det(E2)*...*det(En)*det(B) = det(A) * det(B)
역행렬의 행렬식
det(A-1) = 1 / det(A)
-> det(A)*det(A-1) = det(AA-1) = det(I) = 1
6.4 LU 분해
LU = A 를 만드는 LU 찾기
(Ek*Ek-1....E2*E1)A = U
L = (Ek*Ek-1....E2*E1)^(-1)
= E1^(-1)*E2^(-1) ... Ek^(-1)
= (E1^(-1)*E2^(-1) ... Ek^(-1)) * I
승수
기본 행 연산 (k행) + c(j행) 을 수행했을 때, c를 승수라고 함.
L을 구할 때, k행 j열의 위치를 -c로 대체하면 L을 쉽게 구할 수 있음.
LU 분해를 이용해 역행렬 찾기
A-1 = (LU)-1 = U-1L-1
문제
A 가 한 행(열) 외에 전부 미지수이고, adj(A)도 비슷한 모양일 때,
det(A) = 한 행 * 여인수 한 줄
-> 여인수는 adj(A)를 전치해서 얻자.
det(kA) = k^n det(A) 잊지 말자.
미지수로만 이루어진 행렬 A의 det(A)를 알려줬을 때, A의 미지수들로 연산을 한 행렬의 det를 구하는 문제
-> det를 구하는 식을 쭉 풀어 쓰고, 그거를 2개의 det로 쪼개서 합치자.
-> 기본 행 연산을 열에도 적용시킬 수 있음을 기억하자.
7.1 고윳값과 고유벡터
Au = 람다 u
ㅅ : 람다 = 고윳값, 스칼라임.
u : 교유벡터
-> Au = ㅅIu
-> Au - ㅅIu = O
-> (A - ㅅI)u = O
6장 내용 복습
Ax = O 가 무수히 많은 해를 가진다.
<-> A는 비가역행렬이다.
<-> det(A) = 0 다. (행렬식이 0이다.)
특성방정식 det(A - ㅅI) = 0
즉, Ax = 0 식을 이용해서 u가 영벡터가 아닐 경우, det(A - ㅅI) = 0
고윳값 람다와 u를 구하는 방법
- 특성방정식 위 식을 이용하여 스칼라 ㅅ를 구한다.
- (A - ㅅI) = O를 풀어 u를 구한다.
ku 도 ㅅ의 고유벡터
고유공간 Eㅅ
S = {O} U {u | u는 ㅅ에 대응하는 고유벡터}
7.2 고윳값과 고유벡터의 성질
단순 고윳값과 중복 고윳값
정사각행렬 A의 n에 따라서, 특성방정식은 n차 방정식을 푸는 문제가 됨.
-> 중근 발생.
중근이 생기면 그 람다를 중복 고윳값.
else 단순 고윳값.
대각행렬과 삼각행렬의 고윳값
A의 고윳값은 주대각 성분들.
행렬 거듭제곱의 고윳값과 고유벡터
ㅅ^m 은 A^m의 고윳값이고 이에 대응하는 고유벡터는 u 이다.
-> 귀납법으로 증명.
역행렬의 고윳값과 고유벡터
A-1 의 고윳값 : 1/ㅅ
고유벡터 : u
-> Au = ㅅu 양변에 A-1 곱해서 정리
-> A-1u = 1/ㅅ u.
고윳값을 이용한 행렬식det(A)와 대각합
A의 고윳값이 ㅅ1, ㅅ2, ㅅ3, ..., ㅅn 일 때,
det(A) = ㅅ1 x ㅅ2 x ㅅ3 x ... ㅅn
대각합 tr(A) = ㅅ1 + ㅅ2 + ㅅ3 + ... + ㅅn
케일리-해밀턴 정리
모든 정사각행렬 A는 특성방정식 p(A) = O 의 해다.
p는 특성다항식.
-> 특성방정식 (det(A - ㅅI)) 를 풀어서 ㅅ 다항식을 만들고,
ㅅ 대신 A를 집어넣어 A 거듭제곱을 빠르게 계산 가능하다.
7.3 대각화
행렬의 닮음
P-1 A P = B를 만족하는 P가 존재하면 B는 A의 닮음.
닮음 행렬의 고윳값은 같다.
닮음 행렬이 있으면 A는 대각화 가능하다.
대각화 가능 행렬의 고유벡터
n x n 행렬 A는 대각화 가능하다 <=> 행렬 A는 n개의 일차독립인 고유벡터를 가진다.
대각화 절차
- 특성방정식 det(A - ㅅI) = 0 을 이용하여, ㅅ에 대응하는 고유벡터들 p1, p2, ... , pn 을 찾는다. n개의 일차독립인 고유벡터가 아니라면, A는 대각화 불가능.
- P = (p1 p2 p3 ... pn)
- 대각행렬 D = ㅅ1, ㅅ2, ㅅ3, ... , ㅅn 이 주대각선에 위치한 행렬임.
- PD = AP 임을 확인하자.
-> A와 D는 서로 닮음이므로 고윳값이 같다.
고윳값과 대각화 가능
ㅅ1, ㅅ2, ..., ㅅn 이 서로 다르면 이에 대응하는 u1, u2, ... , un 은 일차독립
-> 대각화 가능
행렬 A는 대각화 가능하다. <=> 각 고윳값에 대한 고유공간의 차원은 고윳값의 중복도와 같다.
A^m 구하기 (대각화 버전)
A^m = PD^mP-1
-> P-1 과 P의 위치가 바뀐 거 주의!!
