sinx/x의 극한

Ho__sing·2023년 4월 7일

수학

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테일러 급수의 예시와 바젤 문제에 대해 공부하다가 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 의 고등수준에서의 증명이 궁금해서 포스팅하게 되었다.

그림 출처 : Gribozavr, Public domain, via Wikimedia Commons

단위원 위에 중심각의 크기가 $x(단, 0<x<\frac{\pi}{2})$ ( $\because\displaystyle\lim_{x \to 0}$ )인 부채꼴 $KOA$ 가 있는 위와 같은 그림을 설정했을 때,
$\triangle{KOA}<부채꼴 KOA<\triangle{LOA}$ 인 사실에 Squeeze Theorem을 적용하여 증명할 것이다.

$\triangle{KOH}$ 에서 $\overline{KO}=1$ 이므로, $\overline{KH}=\sin x$ , $\overline{OH}=\cos x$ 이다.
$\triangle{LOA}$ 에서 $\overline{OA}=1$ 이므로, $\overline{LA}=\tan x$ 이다.

\triangle{KOA}=\frac{1}{2}\times\overline{OA}\times\overline{KH}=\frac{1}{2}\sin x

부채꼴 KOA=\frac{1}{2}r^2 \theta=\frac{1}{2}x

\triangle{LOA}=\frac{1}{2}\times\overline{OA}\times\overline{LA}=\frac{1}{2}\tan x

$\\$
$\\$

\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x

\sin x<x<\tan x

1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}

1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x\leq\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\leq\displaystyle\lim_{x\to 0}1

1\leq\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\leq1

\therefore \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

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Ho__sing

ps 독학하면서 스스로에게 강의하며 정리 하는 곳, 지적과질문 환영

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