Basel Problem

에라토스테네스의 체의 시간복잡도 증명과정에서 소수의 역수들의 합에 대해 공부하는 과정에서 비슷하지만 다른 형태인 자연수들의 제곱의 역수의 합 문제를 발견하게 되었는데, $\sin x$ 식의 변형이 흥미로워서 포스팅해보게 되었다.

바젤 문제란?

문제는 매우 간단하다.

다음 급수의 값을 구하여라. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^2}$

오일러의 풀이

현대수학에서 보았을 때, 엄밀한 증명은 아니라고 한다.

오일러는 $\sin x$를 다항식으로 전개한 두 개의 식의 계수를 비교하여 바젤문제를 해결했다.
첫번째 전개 방식은 이전에 다뤄봤던 테일러 급수이다.

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$

두 번째 방식에 대해 설명하기에 앞서, 우리가 어떤 2차 방정식이 $(1,0),\,(3,0)$을 지난다고 하면 우리는 어떻게 이 식을 표현할 수 있을까. 어떤 4차 방정식이 $(-5,0),\,(-2,0),\,(6,0),\,(9,0)$을 지난다면?
아마 각각 $y=m(x-1)(x-3)$과 $y=m(x+5)(x+2)(x-6)(x-9)$로 표현할 수 있을 것이다.

그렇다면 $\sin x$는 어떤가, $(0,0),\,(-\pi,0),\,(\pi,0),(-2\pi,0),\,(2\pi,0),\cdots$을 지나므로 적당한 상수 $m,\,m'$에 대해 아래와 같이 표현할 수 있다.

양변에 $\displaystyle\lim_{x\to 0}$를 취해주면 $m'=1$임을 알 수 있다.

$\sin x=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})\cdots$

위 식에서 $x^3$의 계수를 계산해보자.
$-(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+\cdots)$
그리고 이 계수를 테일러 급수에서의 $x^3$의 계수와 비교해보면,

$\therefore\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

지적 및 질문 환영합니다.