3.1 Modeling of Electrical Components

3.1.1 Resistor

$e_R(t)=i(t)R$

저항 $R$에 걸리는 전압 강하 $e_R(t)$는 저항을 흐르는 전류 $i(t)$에 비례한다.

3.1.2 Inductor

$e_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$
인덕터 $L$에 걸리는 전압 강하 $e_L(t)$는 인덕터를 흐르는 전류 $i(t)$의 시간에 따른 변화율에 비례한다.

3.1.3 Capacitor

$e_C(t)=\int\frac{i(t)}{C}\, dx$
커패시터 $C$에 걸리는 전압 강하 $e_C(t)$는 전류 $i(t)$의 시간에 대한 적분에 비례한다.

3.1.4 Two Laws of Kirchhoff

Current Law: 어떤 노드로 들어오는 모든 전류의 산술합은 0이다.
Voltage Law: complete closed loop 내 모든 전압 강하의 산술합은 0이다.

Example 1: RLC network

Voltage Law에 의해, $e(t)-e_R(t)-e_L(t)-e_C(t)=0$

$\Leftrightarrow e(t)=e_R(t)+e_L(t)+e_C(t)$

$\Leftrightarrow e(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+e_C(t)$

여기서 $e_C(t)=\int\frac{i(t)}{C}\, dx \rightarrow i(t)=C\frac{de_C(t)}{dt}$이므로

$e(t)=RC\frac{de_C(t)}{dt}+L\frac{d^2e_C(t)}{dt^2}+e_C(t)$

$\therefore L\ddot{e_C}(t)+RC\dot{e_C}(t)+e_C(t)=e(t)$

여기서 $e_C(t)$을 출력으로, $e(t)$을 입력으로 정의하였다.

Example 2:

Voltage Law에 의해,
$e_{in}(t)=e_R(t)+e_C(t)=Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dx$

$e_C(t)=e_o(t)=\frac{1}{C}\int i(t) dt$

$\Leftrightarrow \frac{de_o(t)}{dt}=\frac{1}{C}i(t)$ $\Leftrightarrow C\dot{e_o}(t)=i(t)$

$\Rightarrow e_{in}(t)=RC\dot{e_o}(t)+e_o(t)$

$\therefore \dot{e_o}(t)+\frac{1}{\tau}e_o(t)=\frac{1}{\tau}e_{in}(t)$

여기서 $\tau=RC$는 time constant이다.

Example 3:

①: $L_1\frac{di_1(t)}{dt}+R_1i_1(t)+e_C(t)=e_t$

②: $L_2\frac{di_2(t)}{dt}+R_2i_2(t)=e_C(t)$

③: $i_1(t)=i_2(t)+C\frac{de_C(t)}{dt} \Leftrightarrow C\frac{de_C(t)}{dt}=i_1(t)-i_2(t)$

①, ② 양변을 미분하면

①: $L_1\frac{d^2i_1(t)}{dt^2}+R_1\frac{di_1(t)}{dt}+\frac{de_C(t)}{dt}=\frac{de(t)}{dt}$

②: $L_2\frac{d^2i_2(t)}{dt^2}+R_2\frac{di_2(t)}{dt}=\frac{de_C(t)}{dt}$

③에 의해 정리하면,

①: $L_1\frac{d^2i_1(t)}{dt^2}+R_1\frac{di_1(t)}{dt}+\frac{1}{C}(i_1(t)-i_2(t))=\frac{de(t)}{dt}$

②: $L_2\frac{d^2i_2(t)}{dt^2}+R_2\frac{di_2(t)}{dt}-\frac{1}{C}(i_1(t)-i_2(t))=0$

3.2 Modeling of Electromechanical(Mechatronic) Systems

Example: DC Servo Motor

- Electrical Side
$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+e_b(t)=V(t)$

여기서 $e_b(t)=k_b\frac{d\theta(t)}{dt}$ (back emf)이다.

- Mechanical Side
$J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+b\frac{d\theta}{dt}=\tau(t)$

여기서 $\tau(t)=k_mi(t)$이다. 이는 기계 시스템과 전기 시스템의 관계를 나타낸다.

따라서

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+k_b\frac{d\theta}{dt}=V(t)$

$J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+b\frac{d\theta}{dt}=k_mi(t)$

<참고 문헌>
전웅선 교수님, 자동제어, 중앙대학교 전자전기공학부, 2024