[Linear algebra] 2.1 데이터와 행렬

JKH·4일 전

Data Science Linear Algebra Mathematics python

선형대수

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데이터 사이언스 스쿨의 내용을 토대로 수정 및 보완했습니다.

2.1 데이터와 행렬

이 두 가지 패키지가 임포트되어 있어야 한다.

import numpy as np  # 넘파이 패키지 임포트
import matplotlib.pylab as plt  # 맷플롯립 패키지 임포트

데이터의 유형

선형대수에서 다루는 데이터는 개수나 형태에 따라 크게 스칼라(scalar), 벡터(vector), 행렬(matrix), 텐서(tensor) 유형으로 나뉜다. 스칼라는 숫자 하나로 이루어진 데이터이고, 벡터는 여러 숫자로 이루어진 데이터 레코드(data record)이며, 행렬은 이러한 벡터, 즉 데이터 레코드가 여럿인 데이터 집합이라고 볼 수 있다. 텐서는 같은 크기의 행렬이 여러 개 있는 것이라고 생각하면 된다.

데이터 분석의 연습에서 많이 사용되는 벤치마크 데이터셋(benchmark dataset) 중 하나인 붓꽃 데이터셋(iris dataset)을 살펴보며 데이터 유형을 알아보자. 붓꽃 150송이에 대해 꽃받침의 길이, 꽃받침의 폭, 꽃잎의 길이, 꽃잎의 폭을 각각 측정한 것으로 150송이 중 50송이는 세토사(setosa)라는 종이고, 50송이는 베르시칼라(versicolor), 나머지 50송이는 버지니카(virginica)라는 종이다.

from sklearn.datasets import load_iris  # 사이킷런 패키지 임포트

iris = load_iris()  # 데이터 로드
iris.data[0, :]  # 첫 번째 꽃의 데이터

array([5.1, 3.5, 1.4, 0.2])

스칼라

스칼라는 하나의 숫자만으로 이루어진 데이터를 말한다. 스칼라는 보통 $x$ 와 같이 알파벳 소문자로 표기하며 실수(real number)인 숫자 중의 하나이므로 실수 집합 $\mathbf{R}$ 의 원소라는 의미에서 다음처럼 표기한다.

x \in \mathbf{R} \tag{2.1.1}

벡터

벡터는 여러 개의 숫자가 특정한 순서대로 모여 있는 것을 말한다. 예를 들어 붓꽃의 종을 알아내기 위해 붓꽃의 크기를 측정할 때, 꽃받침의 길이 $x_1$ 뿐 아니라 꽃받침의 폭 $x_2$ , 꽃잎의 길이 $x_3$ , 꽃잎의 폭 $x_4$ 라는 4개의 숫자를 측정할 수도 있다. 이렇게 측정된 4개의 숫자는 한 송이의 붓꽃에서 나온 데이터이므로 따로따로 다루기보다는 하나의 묶음(tuple)으로 묶어놓는 것이 좋다. 이때 숫자의 순서가 바뀌면 어떤 숫자가 꽃잎의 길이이고 어떤 숫자가 꽃받침의 폭인지 알 수 없으므로 숫자의 순서를 유지하는 것이 중요하다. 붓꽃의 크기 벡터는 4개의 데이터 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 가 하나로 묶여 있는데 이를 선형대수 기호로는 다음처럼 하나의 문자 $x$ 로 표기한다.

x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.2}

이때 벡터는 복수의 가로줄, 즉 행(row) 을 가지고 하나의 세로줄, 즉 열(column) 을 가지는 형태로 위에서 아래로 내려써서 표기해야 한다.

하나의 벡터를 이루는 데이터의 개수가 $n$ 개이면 이 벡터를 n-차원 벡터(n-dimensional vector)라고 하며 다음처럼 표기한다.

x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.3}

또는

x \in \mathbf{R}^N \tag{2.1.4}

책에 따라서는 벡터와 스칼라와 구별하기 위해 볼드체 벡터 기호 $\mathbf{x}$ 나 화살표 벡터 기호 $\vec{x}$ 를 사용하기도 한다.

\mathbf{x} = \vec{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.6}

특징 벡터

데이터 벡터가 예측 문제에서 입력 데이터로 사용되면 특징 벡터(feature vector) 라고 한다. 예를 들어 어떤 붓꽃의 꽃받침 길이가 5.1cm, 꽃받침 폭이 3.5cm, 꽃잎 길이가 1.4cm, 꽃잎 폭이 0.2cm였다면 이 데이터 레코드를 $x_1$ 이라고 이름 붙이고 다음처럼 표시한다.

x_1 = \begin{bmatrix} 5.1 \\ 3.5 \\ 1.4 \\ 0.2 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.7}

만약 이러한 붓꽃 크기 벡터를 이용하여 붓꽃 종을 결정하는 예측 문제를 풀고 있다면 붓꽃 크기 벡터는 특징 벡터이다.

넘파이를 사용한 벡터 표현

넘파이는 선형대수 문제를 풀 때 사용하는 파이썬 패키지다. 넘파이를 사용하여 벡터를 표현할 때는 벡터를 다음처럼 열의 개수가 하나인 2차원 배열(array) 객체로 표현한다. 이때 배열의 차원은 벡터의 차원과 다른 의미다. 위에서 설명한 벡터의 차원은 원소 개수를 뜻한다. 배열은 원소 개수가 몇 개이든 한 줄로 나타낼 수 있다면 1차원 배열(1-dimensional array)이라고 한다. 원소를 가로와 세로가 있는 여러 줄의 직사각형 형태로 나타낼 수 있으면 2차원 배열(2-dimensional array)이라고 한다. 예를 들어 위에서 예로 든 벡터 $x_1$ 을 넘파이의 2차원 배열로 표기하면 다음과 같다.

x1 = np.array([[5.1], [3.5], [1.4], [0.2]])
x1

array([[5.1],
       [3.5],
       [1.4],
       [0.2]])

하지만 넘파이는 1차원 배열 객체도 대부분 벡터로 인정한다. 이때는 벡터가 마치 하나의 행처럼 표시되어도 실제로는 열이라는 점에 주의한다.

x1 = np.array([5.1, 3.5, 1.4, 0.2])
x1

array([5.1, 3.5, 1.4, 0.2])

그러나 벡터 데이터를 처리하는 프로그램에 따라서 두 가지 표현법 중 열 표기를 정확하게 요구하는 경우도 있으므로 주의해야 한다. 예를 들어 사이킷런 패키지에서 벡터를 요구하는 경우에는 반드시 열의 개수가 1개인 2차원 배열 객체를 넣어야 한다.

연습 문제 2.1.1

NumPy를 사용해서 붓꽃 데이터 $x_2$ 에 대한 벡터 변수 x2를 만든다.

import numpy as np  # 넘파이 패키지 임포트
import matplotlib.pylab as plt  # 맷플롯립 패키지 임포트
from sklearn.datasets import load_iris  # 사이킷런 패키지 임포트
iris = load_iris()  # 데이터 로드
x2 = iris.data[1, :]
print(x2, type(x2), x2.shape)

예측 문제의 입력 데이터는 대부분 벡터로 표시한다. 예를 들어 숫자 이미지를 입력받아 어떤 숫자인지 분류하는 문제를 생각해보자. 이미지는 원래 2차원 데이터이지만 예측 문제에서는 보통 1차원 벡터로 변환하여 사용한다. 다음은 사이킷런 패키지에서 제공하는 MNIST 숫자 이미지(digit image) 데이터셋이다. 이 데이터는 0부터 9까지의 숫자를 손으로 쓴 후에 8x8 해상도의 이미지로 스캔한 것이다. 다음 코드는 그중 숫자 0과 1의 이미지 8개를 출력한다.

from sklearn.datasets import load_digits  # 패키지 임포트

digits = load_digits()  # 데이터 로드
samples = [0, 10, 20, 30, 1, 11, 21, 31]  # 선택된 이미지 번호
d = []
for i in range(8):
    d.append(digits.images[samples[i]])

plt.figure(figsize=(8, 2))
for i in range(8):
    plt.subplot(1, 8, i + 1)
    plt.imshow(d[i], interpolation='nearest', cmap=plt.cm.bone_r)
    plt.grid(False); plt.xticks([]); plt.yticks([])
    plt.title("image {}".format(i + 1))
plt.suptitle("숫자 0과 1 이미지")
plt.tight_layout()
plt.show()

이 2차원 이미지를 64-크기의 1차원 벡터로 펼치면 다음과 같다. 같은 숫자에 대한 벡터는 서로 닮았다.

v = []
for i in range(8):
    v.append(d[i].reshape(64, 1))  # 벡터화
    
plt.figure(figsize=(8, 3))
for i in range(8):
    plt.subplot(1, 8, i + 1)
    plt.imshow(v[i], aspect=0.4,
               interpolation='nearest', cmap=plt.cm.bone_r)
    plt.grid(False); plt.xticks([]); plt.yticks([])
    plt.title("벡터 {}".format(i + 1))
plt.suptitle("벡터화된 이미지", y=1.05)
plt.tight_layout(w_pad=7)
plt.show()

행렬

행렬은 복수의 차원을 가지는 데이터 레코드가 다시 여러 개 있는 경우의 데이터를 합쳐서 표기한 것이다. 예를 들어 붓꽃 6송이에 대해 4차원 붓꽃 데이터가 6개 있음을 다음과 같이 표현한다.

X = \begin{bmatrix} \boxed{\begin{matrix} x_{1, 1} & x_{1, 2} & x_{1, 3} & x_{1, 4}\end{matrix}} \\ \begin{matrix} x_{2, 1} & x_{2, 2} & x_{2, 3} & x_{2, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3, 1} & x_{3, 2} & x_{3, 3} & x_{3, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{4, 1} & x_{4, 2} & x_{4, 3} & x_{4, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{5, 1} & x_{5, 2} & x_{5, 3} & x_{5, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{6, 1} & x_{6, 2} & x_{6, 3} & x_{6, 4}\end{matrix} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.9}

행렬의 원소 하나하나는 $x_{2, 3}$ 처럼 두 개의 숫자 쌍을 아래첨자(subscript)로 붙여서 표기한다. 첫 번째 숫자가 행을 뜻하고 두 번째 숫자가 열을 뜻한다. 예를 들어 $x_{2, 3}$ 은 두 번째 행(위에서 아래로 두 번째), 세 번째 열(왼쪽에서 오른쪽으로 세 번째)의 숫자를 뜻한다. 행/열의 개수가 10보다 적을 때는 쉼표 없이 $x_{23}$ 이라고 표기할 때도 있다. 벡터는 열의 수가 1인 행렬이라고 볼 수 있으므로 벡터를 다른 말로 열 벡터(column vector) 라고도 한다. 데이터를 행렬로 묶어서 표시할 때는 붓꽃 하나에 대한 데이터 레코드, 즉 하나의 벡터가 열이 아닌 행(row)으로 표시한다.

하나의 데이터 레코드를 단독으로 벡터로 나타낼 때는 하나의 열(column) 로 나타내고 복수의 데이터 레코드 집합을 행렬로 나타낼 때는 하나의 데이터 레코드가 하나의 행(row) 으로 표기하는 것은 일반적인 관례이므로 외워두어야 한다.

만약 이 데이터를 이용하여 붓꽃의 종을 결정하는 예측 문제를 풀고 있다면 이 행을 특징 행렬(feature matrix) 이라고 하기도 한다. 이 행렬의 크기를 수식으로 표시할 때는 다음처럼 "행의 크기 곱하기 열의 크기"로 나타낸다.

X \in \mathbf{R}^{6\times 4} \tag{2.1.10}

스칼라와 벡터도 수학적으로는 행렬에 속한다. 스칼라는 열과 행의 수가 각각 1인 행렬이고 벡터는 열의 수가 1인 행렬이다. 그래서 스칼라나 벡터의 크기를 표시할 때 다음처럼 쓸 수도 있다.

스칼라는

a \in \mathbf{R}^{1\times 1} \tag{2.1.11}

벡터는 (예를 들어 길이가 4인 붓꽃 벡터의 경우)

x \in \mathbf{R}^{4\times 1} \tag{2.1.12}

앞에서 예로 들었던 두 송이의 붓꽃 데이터를 하나의 행렬로 합치면 다음과 같다.

X= \begin{bmatrix} 5.1 & 3.5 & 1.4 & 0.2 \\ 4.9 & 3.0 & 1.4 & 0.2 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.13}

NumPy를 이용하여 행렬을 표기할 때는 2차원 ndarray 객체를 사용한다. 예를 들어 다음 행렬 $A$ 를 NumPy로 나타내면 다음과 같다.

A= \begin{bmatrix} 11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.14}

A = np.array([[11,12,13],[21,22,23]])
A

array([[11, 12, 13],
       [21, 22, 23]])

연습 문제 2.1.2

넘파이를 사용해서 붓꽃 데이터 $X$ 에 대한 행렬 변수 X를 만든다.

import numpy as np # 넘파이 패키지 임포트
import matplotlib.pylab as plt # 맷플롯립 패키지 임포트
from sklearn.datasets import load_iris # 사이킷런 패키지 임포트
X = load_iris().data # 데이터 로드
print(X, type(X), X.shape)

텐서

텐서는 같은 크기의 행렬이 여러 개 같이 묶여 있는 것을 말한다. 엄격한 수학적 정의로는 텐서는 다차원 배열로 표현되는 사상(mapping)으로 다차원 배열 자체를 뜻하지 않는다. 하지만 데이터 사이언스 분야에서는 흔히 다차원 배열을 텐서라고 부르므로 여기에서는 이러한 정의를 따르도록 한다.

예를 들어 다음 컬러 이미지는 빨강, 초록, 파랑의 밝기를 나타내는 3가지의 이미지가 겹친 것이다. 컬러 이미지에서는 각각의 색을 나타내는 행렬을 채널(channel)이라고 한다. 예제 이미지는 크기가 768 x 1024이고 3개의 채널이 있으므로 768 x 1024 x 3 크기의 3차원 텐서다.

from scipy import misc  # 패키지 임포트
img_rgb = misc.face()  # 컬러 이미지 로드
img_rgb.shape  # 데이터의 모양

(768, 1024, 3)

plt.subplot(221)
plt.imshow(img_rgb, cmap=plt.cm.gray)  # 컬러 이미지 출력
plt.axis("off")
plt.title("RGB 컬러 이미지")

plt.subplot(222)
plt.imshow(img_rgb[:, :, 0], cmap=plt.cm.gray)  # red 채널 출력
plt.axis("off")
plt.title("Red 채널")

plt.subplot(223)
plt.imshow(img_rgb[:, :, 1], cmap=plt.cm.gray)  # green 채널 출력
plt.axis("off")
plt.title("Green 채널")

plt.subplot(224)
plt.imshow(img_rgb[:, :, 2], cmap=plt.cm.gray)  # blue 채널 출력
plt.axis("off")
plt.title("Blue 채널")

plt.show()

전치 연산

이번에는 이러한 스칼라, 벡터, 행렬 데이터를 변형시키는 방법 즉, 연산(operation)에 대해서 알아보자. 전치(transpose) 연산은 행렬에서 가장 기본이 되는 연산으로 행렬의 행과 열을 바꾸는 연산을 말한다. 전치 연산은 벡터나 행렬에 $T$ 라는 위첨자(superscript)를 붙여서 표기한다. 책에 따라서는 프라임(prime)기호 $'$ 를 붙이는 경우도 있다.

$x$ 를 전치연산하면

x \;\; \rightarrow \;\; x^T \tag{2.1.15}

또는

x \;\; \rightarrow \;\; x' \tag{2.1.16}

앞에서 보인 $6\times 4$ 차원의 행렬을 전치 연산하면 $4\times 6$ 차원의 행렬이 된다.

X = \begin{bmatrix} \boxed{\begin{matrix} x_{1, 1} & x_{1, 2} & x_{1, 3} & x_{1, 4}\end{matrix}} \\ \begin{matrix} x_{2, 1} & x_{2, 2} & x_{2, 3} & x_{2, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3, 1} & x_{3, 2} & x_{3, 3} & x_{3, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{4, 1} & x_{4, 2} & x_{4, 3} & x_{4, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{5, 1} & x_{5, 2} & x_{5, 3} & x_{5, 4}\end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{6, 1} & x_{6, 2} & x_{6, 3} & x_{6, 4}\end{matrix} \\ \end{bmatrix} \;\; \rightarrow \;\; X^T = \begin{bmatrix} \boxed{\begin{matrix} x_{1, 1} \\ x_{1, 2} \\ x_{1, 3} \\ x_{1, 4}\end{matrix}} & \begin{matrix} x_{2, 1} \\ x_{2, 2} \\ x_{2, 3} \\ x_{2, 4}\end{matrix} & \begin{matrix} x_{3, 1} \\ x_{3, 2} \\ x_{3, 3} \\ x_{3, 4}\end{matrix} & \begin{matrix} x_{4, 1} \\ x_{4, 2} \\ x_{4, 3} \\ x_{4, 4}\end{matrix} & \begin{matrix} x_{5, 1} \\ x_{5, 2} \\ x_{5, 3} \\ x_{5, 4}\end{matrix} & \begin{matrix} x_{6, 1} \\ x_{6, 2} \\ x_{6, 3} \\ x_{6, 4}\end{matrix} & \end{bmatrix} \tag{2.1.17}

전치 연산으로 만든 행렬을 원래 행렬에 대한 전치행렬이라고 한다. (열)벡터 $x$ 에 대해 전치 연산을 적용하여 만든 $x^T$ 는 행의 수가 1인 행렬이므로 행 벡터(row vector) 라고 한다.

x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} \; \rightarrow \; x^T = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{N} \end{bmatrix} \tag{2.1.18}

NumPy에서는 ndarray 객체의 T라는 속성을 이용하여 전치 행렬을 구한다. 이때 T는 메서드(method)가 아닌 속성(attribute)이므로 소괄호 ()를 붙여서 호출하면 안 된다.

A.T

array([[11, 21],
       [12, 22],
       [13, 23]])

연습 문제 2.1.3

NumPy를 사용해서 붓꽃 데이터 $X$ 의 전치행렬 $X^T$ 을 구한다.
NumPy를 사용해서 위 전치행렬을 다시 전치한 행렬 $(X^T)^T$ 을 구한다. 이 행렬과 원래 행렬 $X$ 을 비교한다.

import numpy as np # 넘파이 패키지 임포트
import matplotlib.pylab as plt # 맷플롯립 패키지 임포트
from sklearn.datasets import load_iris # 사이킷런 패키지 임포트
X = load_iris().data # 데이터 로드
Y = X.T
Z = Y.T
# check element-wise equal.
if np.array_equal(X, Z):
    print("Transpose를 두번 취하면 자기 자신")

행렬의 행 표기법과 열 표기법

전치 연산과 행 벡터, 열 벡터를 이용하면 다음처럼 행렬을 복수의 열 벡터 $c_i$ , 또는 복수의 행 벡터 $r_j^T$ 을 합친(concatenated) 형태로 표기할 수도 있다.

X = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1^T \\ r_2^T \\ \vdots \\ r_N^T \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.19}

X \in \mathbf{R}^{N\times M} \tag{2.1.20}

c_i \in \mathbf{R}^{N \times 1} \; (i=1,\cdots,M) \tag{2.1.21}

r_j^T \in \mathbf{R}^{1 \times M} \; (j=1,\cdots,N) \tag{2.1.22}

X = \begin{bmatrix} \boxed{\begin{matrix} \phantom{\LARGE\mathstrut} \\ c_1 \\ \phantom{\LARGE\mathstrut} \end{matrix}} & \boxed{\begin{matrix} \phantom{\LARGE\mathstrut} \\ c_2 \\ \phantom{\LARGE\mathstrut} \end{matrix}} & \cdots & \boxed{\begin{matrix} \phantom{\LARGE\mathstrut} \\ c_M \\ \phantom{\LARGE\mathstrut} \end{matrix}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boxed{\begin{matrix} \phantom{} & \phantom{} & r_1^T & \phantom{} & \phantom{} \end{matrix}} \\ \boxed{\begin{matrix} \phantom{} & \phantom{} & r_2^T & \phantom{} & \phantom{} \end{matrix}} \\ \vdots \\ \boxed{\begin{matrix} \phantom{} & \phantom{} & r_N^T & \phantom{} & \phantom{} \end{matrix}} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.23}

"행렬 $X$ 의 각 열은 $c_1$ , $c_2$ , $\ldots$ , $c_M$ 라고 이름 붙인다."

"행렬 $X$ 는 열 벡터 $c_1$ , $c_2$ , $\ldots$ , $c_M$ 으로 이루어져 있다."

"행렬 $X$ 의 각 행은 $r_1^T$ , $r_2^T$ , $\ldots$ , $r_N^T$ 라고 이름 붙인다."'

"행렬 $X$ 는 행 벡터 $r_1^T$ , $r_2^T$ , $\ldots$ , $r_N^T$ 으로 이루어져 있다."

특수한 벡터와 행렬

몇 가지 특수한 벡터와 행렬은 별도의 기호나 이름이 붙는다.

영벡터

모든 원소가 0인 $N$ 차원 벡터는 영벡터(zeros-vector) 라고 하며 다음처럼 표기한다.

\mathbf{0}_N = \mathbf{0} = 0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.27}

0 \in \mathbf{R}^{N \times 1} \tag{2.1.28}

NumPy에서 영벡터는 zeros() 명령으로 만든다. 소괄호 안에는 행렬의 shape을 나타내는 순서쌍 tuple을 전달한다.

np.zeros((3, 1))

array([[0.],
       [0.],
       [0.]])

일벡터

모든 원소가 1인 $N$ 차원 벡터는 일벡터(ones-vector) 라고 하며 다음처럼 표기한다.

\mathbf{1}_N = \mathbf{1} = 1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.29}

1 \in \mathbf{R}^{N \times 1} \tag{2.1.30}

NumPy에서 일벡터는 ones() 명령으로 만든다.

np.ones((3, 1))

array([[1.],
       [1.],
       [1.]])

정방행렬

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다.

대각행렬

행렬에서 행과 열이 같은 위치를 주 대각(main diagonal) 또는 간단히 대각(diagonal) 이라고 한다. 대각 위치에 있지 않은 것들은 비대각(off-diagonal) 이라고 한다. 모든 비대각 요소가 0인 행렬을 대각행렬(diagonal matrix) 이라고 한다.

D = \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{N} \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.31}

D \in \mathbf{R}^{N \times N} \tag{2.1.32}

대각행렬이 되려면 비대각성분이 0이기만 하면 되고 대각성분은 0이든 아니든 상관없다. 또한 반드시 정방행렬일 필요도 없다.

D = \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{M} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.33}

D \in \mathbf{R}^{N \times M} \tag{2.1.34}

NumPy로 대각 정방행렬을 생성하려면 diag() 명령을 사용한다. 소괄호 안에 diagonal element를 list 형태로 전달한다.

np.diag([1, 2, 3])

array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])

항등행렬

대각행렬 중에서도 모든 대각성분의 값이 1인 대각행렬을 항등행렬(identity matrix) 이라고 한다. 항등행렬은 보통 알파벳 대문자 $I$ 로 표기한다.

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{2.1.35}

I \in \mathbf{R}^{N \times N} \tag{2.1.36}

NumPy로 항등행렬을 생성하려면 identity() 혹은 eye() 명령을 사용한다.

np.identity(3)

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

np.eye(4)

array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]])

대칭행렬

만약 전치연산을 통해서 얻은 전치행렬과 원래의 행렬이 같으면 대칭행렬(symmetric matrix) 이라고 한다. 정방행렬만 대칭행렬이 될 수 있다.

S^{T} = S \tag{2.1.37}

S \in \mathbf{R}^{N \times N} \tag{2.1.38}

연습 문제 2.1.4

영벡터, 일벡터, 정방행렬, 대각행렬, 항등행렬, 대칭행렬의 예를 하나씩 만들어본다.
위의 벡터와 행렬을 NumPy로 나타내 본다.

import numpy as np # 넘파이 패키지 임포트
a = np.zeros((5,1))
b = np.ones((5,1))
c = np.random.randint(1, 6, size=(5, 5))
d = np.diag(range(5))
e = np.identity(5)
f = c
for x in range(5):
    for y in range(x+1):
            f[x][y] = f[y][x]
print(a,b,c,d,e,f)

JKH

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