4.2 Column space and null space

다음은 etl.snu의 공학수학1 강의를 듣고 정리한 내용입니다

4.2 Column space and null space

column space

• column들을 선형조합해서 만드는 space
• A∈R(mxn)에 관한 유용한 subspace(vector space)
• A:Rn에 속하는 임의의 벡터 x에 대해서, y=Ax를 만족하는 모든 y의 집합
• Ax=a1x1+...+anxn (a: column vector) -> A는 선형조합

row space

• row들을 선형조합해서 만드는 space
• 그다지 많이 쓰지 않음
• 그런데, 이렇게 바로 쓰기보다는, R(AT)로 써서, column space로 나타낼 수 있다.

null space

• 원점을 지나므로, 벡터 공간이 되는 것은 자명하다.

dimension of spaces

• column space:

  • a1~an까지의 모든 벡터들이 선형독립이라면, basis={a1,..,an} -> dim = n
  • a1~ar까지의 모든 벡터들만 선형독립이라면, basis={a1,..,ar} -> dim = r
  • dim R(A) = rank(A) -> 선형 독립인 벡터의 개수

• null space:

  • nullity of A = dim(N(A))

  • 자유도의 의미를 가진다.

  • x=/=0 이면, 어떤 상수배를 해도 0이 되므로(이 식을 만족하므로) 무한히 많은 해가 존재할 수 있다.

    예1: 자유도 1 : t1 -> dim =1
    예2: 자유도 2: t2, t3 -> -> dim =2
    자유도는 null space의 dimension과 관련이 있다.

    • 예2의 해인 [x1 x2 0 1]은 예1도 만족시킨다.
    • c[x1 x2 0 1]를 해도 예2을 만족시킨다.
    • c[x1 x2 0 1]+d[x1| x2| 0 1] 를 해도 예2을 만족시킨다.
    • 즉, [x1 x2 0 1]과 [x1| x2| 0 1]는 예2의 basis가 된다.
    • 즉, 예2의 자유도를 의미하는 t1,t2가 예2 null space의 차원을 의미한다.

• n(# of columns) = rankA + nullity