BASIC PROPERTIES

1.Subring의 조건

위에서 중요한 내용은 subring의 성립 조건이다. 우리는 앞서 subring이 4가지 조건을 만족해야 한다고 했다. 위 빨간 색의 4개인데 우리는 이를 2가지 조건으로 축소하고자 한다!

1. closure under substituton
-subset에 들어있는 두 원소 간의 -연산 결과가 set에 들어있으면 된다!
2. closure under multiple
-subset의 두 원소 간의 * 연산 결과가 set에 들어있어야 한다!

요런 의미가 되시겠다. 이 조건이 성립하면 원래 subring의 4가지 조건을 완벽하게 만족하게 할 수 있다. 한 번 정말 그런지 살펴보자.

우리는 조건을 2,3,4,1의 순서로 사용하겠다.(빨간 색으로 적어둔 subring의 4가지 조건에 관하여.)

• 2번 조건은 그냥 closure under multiple이라는 의미이다. pass

• 3번을 사용하자. 3번은 0이 subsut S에 포함되어야 한다는 것이다. 만약 closure under substitution이라면 a-a도 그 subset에 포함될 것이고 즉 0이 S에 포함된다.

• 4번을 사용하자. 어떤 a에 대해 -a가 존재할까? 당연하다. 우리는 0이 집합에 속해있음을 확인했다. 그러므로 closure under substitution조건에서 0-a도 집합에 속한다. 즉 -a가 집합에 속해있다.

• 1번을 사용하자. 집합에 어떤 a에 대해 -a가 속해있다. 즉 b-(-a)도 집합에 속할 것이다. 즉 b+a = a+b(commutativity)가 집합에 속한다. 즉, closure under addition.

오! closure under substitution만 만족하면 위의 4개 조건이 모두 깔끔하게 만족됨을 확인했다!

2.Units and ZeroDivsior

이제 ring에서 보편적인 unit과 zerodivisor에 대해 다뤄보자. unit에 관한 설명은 subring의 조건에 관해 서술한 슬라이드에 적혀있다.

unit이란 ring에서 ax=1=xa을 만족하는 x가 존재할 때 그 a를 말한다.

어떤 x에 대해 ax=xa를 만족해야한다. commutative ring이 아닌 경우에서도 정의할 수 있기 때문이다! 또한 1이 있는 것으로 보면 ring with identity여야하는건 당연한 조건일 것이다.
unit의 정의 아래에는 다양한 예시를 첨부하였다. 2x2 matrices의 set에서는 ad-bc = det(A) != 0일 때 inverse matrix가 존재하여 I = 1이 되는 X가 존재하는 것이다~
unit은 cancellation을 용이하게 해준다~!

ZeroDivisor란 0이 아닌 a에 대해 ax = 0 or xa = 0을 만족하는 x가 존재할 때의 a를 의미한다.

zerodivisor은 unit과 다르게 0으로 만드는 x가 한쪽에만 즉 ax 나 xa 둘 중 하나만 존재하면 된다. 오히려 좋다.
아래는 어떤 집합의 원소가 zerodivisor가 될 조건에 대하여 서술하였다. 간단한 증명도 서술하였는데 A가 zerodivisor가 될 조건에 ad-bc = 0이 있다. ad-bc = 0이면 자명하게 A가 zerodivisor인데 아래에는 A가 zerodivisor라면 ad-bc가 0이 될 수 밖에 없음에 관한 증명이 있다. ad-bc!=0 일 때 X가 0이 될 수 밖에 없음을 보였다. AX = 0 이라고 놓고 양변에 I를 더한다. AX+I = I. ad-bc!=0이므로 A^(-1)이 존재하고 AX + AA^(-1) = I => A(X+A^(-1)) =I => X+A^(-1) = A^(-1) => X = 0.요런 증명이다.

3.Field면 Integral Domain, finite Integral Domain이면 Field

정말 중요한 부분이다. Thm3.7이다. Thm3.7은 당연하면서도 Thm3.9를 위한 준비과정 정도로 생각하면 된다.

• proof of Thm3.7
  if ap = aq라면 a(p-q)=0일 것이고 integral domain은 두 곱이 0이라면 곱해진 둘 중 하나는 0이고 a가 0이 아니라면 결국 p = q라는 이야기이다.

• Thm 3.8은 모든 Field가 Integral Domain이라는 뜻이다. proof는 ab = 0 일 때 a=0이거나 b=0임을 보이면 된다.
  1) a가 0이라면 그냥 증명 끝
  2) a가 0이 아니라면? ab = 0 에서 Field이므로 a가 unit일 것이고 적당한 a^(-1)가 존재해서 a^(-1)ab = 1b = a^(-1)0 = 0. ∴b = 0 이다.

오우 field이기만 하면 integral domain이네요.

• 마지막 thm3.9는 finite integral domain이 field임을 보일 것이다.
  이 때 Fermat's little thm과 유사한 증명을 선보일 것이다.
  S에 a1,a2,a3,a4...an까지 있다고 하자. 이 때 모든 원소에 a를 곱하면? aa1,aa2,aa3,aa4...aan이 될 것이다. 그러면 모든 distinct i,j에 대해 aai != aaj가 된다. 왜? 만약 같다면 a(ai-aj) = 0 이 될텐데 a가 0이 아니면 ai = aj이기 때문이다. 그런데? i!=j이니까 모순! 즉 aai != aaj이다.. 뭔 소리냐면 이제 n개의 element가 똑같이 있는데 다 다르니까 a1,a2,a3...an까지를 그냥 어떤 순서로 놓은 것에 불과하다는 것. 그런데 a1,a2,...an까지에는 1이 무조건 있을 거니까!(∵integral domain is commutative ring with identity) 아 어떤 ai에 관해서는 aai = 1. 증명 끝. 결국 finite integral domain은 field.

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쉽다 쉽다. 안 어렵다! 대신 재밌다! 문제는 조금 어려웠다 사실 ㅋㅋ